O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi buxoro davlat pedagogika instituti “aniq fanlar” kafedrasi

2.3.4-teorema (izomorfizm haqidagi ikkinchi teorema). Bizga G gruppa va uning H; K qism gruppalari berilgan bo‘lsin. Agar K C G bo‘lsa, u holda
H=(H \ K) ∼= (HK)=K:
Isbot. Ixtiyoriy h 2 H element uchun f : H ! (HK)=K akslantirishni
f(h) = hK ko‘rinishida aniqlaymiz. Ushbu f akslantirish gomomorfizm bo‘ladi,
chunki ixtiyoriy h1; h2 2 H elementlar uchun
f(h1 ∗ h2) = (h1 ∗ h2)K = (h1K) ∗ (h2K) = f(h1) ∗ f(h2):
Ixtiyoriy xK 2 (HK)=K element uchun x = h ∗ k tenglikni qanoatlantiruvchi
h 2 H va k 2 K elementlar topiladi. Shuningdek,
xK = (h ∗ k)K = (hK) ∗ (kK) = hK = f(h)
tenglik o‘rinli ekanligidan f akslantirishning syurektivligi kelib chiqadi, ya’ni
f(H) = (HK)=K: U holda gomomorfizmning birinchi teoremasiga ko‘ra,
H=Kerf ∼= (HK)=K
munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Endi, Kerf = H \ K ekanligini ko‘rsatamiz. Aniqlanishiga ko‘ra
Kerf = fh 2 Hj f(h) element (HK)=K ning birlik elementig:
Bundan esa,
Kerf = fh 2 Hj hK = Kg = fh 2 Hj h 2 Kg = H \ K
kelib chiqadi. Demak, H=(H \ K) ∼= (HK)=K.
2 .3.5-teorema. Bizga f : G ! G1 epimorfizm berilgan bo‘lib, H C G uchun
Kerf ⊆ H bo‘lsin. Agar g : G ! G=H va g1 : G1 ! G1=f(H) tabiiy gomomorfizmlar bo‘lsa, u holda g1 ◦ f = h ◦ g shartni qanoatlantiruvchi yagona
h : G=H ! G1=f(H) izomorfizm mavjud.

Isbot. Teoremani isbotlash uchun Ker(g1 ◦ f) = H tenglik o‘rinli ekanligi ko‘rsatish kifoya. Chunki, bu tenglikdan 2.3.1-teoremaga ko‘ra, yagona
h : G=H ! G1=f(H) izomorfizm mavjud ekanligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy a 2 H
element uchun f(a) 2 f(H) = Ker g1 ekanligidan (g1 ◦ f)(a) = g1(f(a)) element G1=f(H) faktor gruppaning birlik elementiga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni,
a 2 Ker(g1 ◦ f); bundan esa H ⊆ Ker(g1 ◦ f) kelib chiqadi.
Agar a 2 Ker(g1 ◦ f) bo‘lsa, u holda g1(f(a)) element G1=f(H) gruppaning
birlik elementi bo‘ladi, bundan esa f(a) 2 Ker g1 = f(H) kelib chiqadi. Natijada,
f(a) = f(b) tenglikni qanoatlantiradigan b 2 H element topiladi. U holda
f(a) = f(b) ) f(a ∗ b-1) = e1 ) a ∗ b-1 2 Ker f ⊆ H;
ya’ni
a = (a ∗ b-1) ∗ b 2 H ) Ker(g1 ◦ f) ⊆ H:

Demak, Ker(g1 ◦ f) = H.
2.3.6-teorema (izomorfizm haqidagi uchinchi teorema). G gruppa va uning 1; H2 (H1 ⊆ H2) normal qism gruppalari berilgan bo‘lsin. U holda
( G=H1)=(H2=H1) ∼= G=H2:2.3.5-teorema shartidagi G1, H va G1=f(H) gruppalar o‘rniga mos ravishda G=H1, H2 va (G=H1)=(H2=H1) gruppalarni qo‘yib, f sifatida f : G ! G=H
tabiiy gomomorfizmni qarasak, f(H2) = H2=H1 tenglik o‘rinli bo‘lib, teoremaning
isboti kelib chiqadi, ya’ni
Aytaylik, G gruppani G1 guppaga akslantiruvchi f epimorfizm berilgan bo‘lsin..G gruppaning ushbu gomomorfizm yadrosini o‘z ichiga oluvchi barcha qism gruppalari oilasini Ω(G; Kerf) kabi, G1 gruppaning barcha qism gruppalari oilasini esa Ω(G1) kabi belgilaymiz.
2.3.7-teorema (Moslik teoremasi). Agar G gruppani G1 guppaga akslantiruvchi f epimorphizm berilgan bo‘lsa, u holda ushbu epimorfizm yordamida o‘zaro bir qiymatli f∗ : Ω(G; Kerf) ! Ω(G1) moslik o‘rnatish mumkin. Bundan tashqari,
ushbu f∗(H) = K moslikda H CG bo‘lishi uchun K CG1 bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. f∗ : Ω(G; Kerf) ! Ω(G1) akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz:
2 Ω(G; Kerf) uchun f∗(H) = ff(h) j h 2 Hg:
Dastlab, ushbu akslantirishning syurektiv ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik,K 2 Ω(G1) bo‘lsin. Ushbu K qism gruppaning proobrazi f-1(K) ni H orqali belgilaylik. Ma’lumki, H to‘plam G gruppaning qism gruppasi bo‘lib, u Kerf ni o‘z ichiga oladi, ya’ni H 2 Ω(G; Kerf): Bundan tashqari, f∗(H) = K ekanligidan, f∗ akslantirishning syurektivligi kelib chiqadi. Endi ushbu akslantirishning inyektiv ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, H1; H2 2 Ω(G; Kerf)bo‘lib, f∗(H1) = f∗(H2) bo‘lsin. U holda ixtiyoriy h 2 H1 uchun shunday h22H2element topilib, f(h1) = f(h2) bo‘ladi. Bundan esa, f(h1 · h- 2 1) = e1 ekanligi,ya’ni h1 · h- 2 1 2 Kerf ⊆ H2 kelib chiqadi. h1 = (h1 · h- 2 1) · h2 2 H2 ekanligidan esa H1 ⊆ H2 munosabatga ega bo‘lamiz. Xuddi shunday, H2 ⊆ H1 munosabatni ham hosil qilish mumkin. Demak, H1 = H2; ya’ni f∗ o‘zaro bir qiymatli akslantirish.
Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz. Aytaylik, f∗(H) = K bo‘lib,H C G bo‘lsin. U holda a 2 G va h 2 K elementlar uchun a · h · a-1 2 H bo‘ladi.Ya’ni f(a) 2 G1 va f(h) 2 K elementlar uchun
f(a) · f(h) · f(a)-1 = f(a · h · a-1) 2 K:
Demak, K to‘plam G1 gruppaning normal qism gruppasi.
Va aksincha, agar K 2 Ω(G1) bo‘lsa, u ixtiyoriy a 2 G va h 2 K elementlar
uchun
f(a · h · a-1) = f(a) · f(h) · f(a)-1 2 K; ya’ni a · h · a-1 2 H:
Yuqoridagi teoremada G1 gruppa o‘rniga G gruppaning biror normal qism gruppasi N bo‘yicha G=N faktor gruppasini olib, g : G ! G=N tabiiy gomomorfizmni qarasak, quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.
2.3.1-natija. G=N faktor gruppaning barcha qism gruppalari K=N ko‘rinishida bo‘ladi, bu yerda N ⊆ K va K ≤ G. Bundan tashqari, K=N CG=N bo‘lishi uchun KCG bo‘lishizarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, g : G ! G=N tabiiy gomomorfizm bo‘lsin, ya’ni a 2 G uchun g(a) = aN: U holda Kerg = N bo‘lib, 2.3.7-teoremaga ko‘ra G gruppaning N qism gruppasini o‘z ichiga oluvchi qism gruppalar oilasi bilan G=N to‘plamning qism gruppalari oilasi o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli g∗ moslik mavjud. Ya’ni ixtiyoriy
K ⊆ G=N qism gruppa uchun H ⊆ G; qism gruppa topilib,
K = g∗(H) = fg(a) j a 2 Kg = K=N:
Teoremaning ikkinchi qismi esa 2.3.7-teoremadan to‘g‘ridan to‘g‘ri kelib chiqadi.
Quyidagi misolda moslik teoremasining izohini keltiramiz
2.3.1-misol. Aytaylik, (Z; +) va (Z12; +12) gruppalar berilgan bo‘lib, f : Z ! Z12epimorfizm f(n) = n kabi aniqlangan bo‘lsin. U holda Kerf = h12i bo‘lib,
Ω(Z; Kerf) = fh12i; h6i; h4i; h3i; h2i; Zg
va
Ω(Z12) = fh0i; h6i; h4i; h3i; h2i; Z77
gbo‘ladi. f∗ : Ω(Z; Kerf) ! Ω(Z12) akslantirish esa, quyidagicha aniqlanadi:
f∗(h12i) = h0i; f∗(h3i) = h3i;
f∗(h2i) = h2i; f∗(h6i) = h6i;
f∗(h4i) = h4i; f∗(Z) = Z12:
Endi biz G gruppani o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi izomorfizmlarni, ya’ni avtomorfizmlarni qaraymiz. Ma’lumki, avtomorfizmlar to‘plami Aut(G) kabi belgilanib,unda superpozitsiya amali binar amal bo‘ladi. Bundan tashqari, 8f; g; h 2 Aut(G)uchun
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
tenglik o‘rinli, ya’ni superpozitsiya amali uchun assosiativlik bajariladi. Ayniyakslantirish iG 2 Aut(G) esa birlik element vazifasini bajarsa, 8f 2 Aut(G) uchun f-1 avtomorfizm teskari element bo‘ladi. Demak, (Aut(G); ◦) gruppa bo‘lar ekan.Endi ushbu avtomorfizmlar gruppasining qism gruppasi bo‘ladigan ichki avtomorfizmlar tushunchasini kiritamiz. Ixtiyoriy a 2 G element uchun θa : G ! Gakslantirishni θa(b) = a · b · a-1; 8b 2 G
kabi aniqlaymiz. Ta’kidlash joizki, ushbu θa akslantirish avtomorfizm bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, θa(c·d) = a·(c·d)·a-1 = (a·c·a-1)·(a·d·a-1) = θa(c)◦θa(d)
tenglikdan uning gomomorfizm ekanligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy c 2 G uchun
c = θa(a-1 · c · a) tenglikdan θa akslantirishning syurektiv ekanligi,

θa(c) = θa(d) ) a · c · a-1 = a · d · a-1 ) c = d
munosabatdan esa, inyektivligi kelib chiqadi. Demak, θa 2 Aut(G):
2.3.1-ta’rif. θa ko‘rinishidagi avtomorfizmga ichki avtomorfizm deyiladi.
Ggruppaning barcha ichki avtomorfizmlar to‘plami Inn(G) kabi belgilanadi.
2.3.1-tasdiq. Ichki avtomorfizmlar quyidagi xossalarga ega:
1) θa ◦ θb = θa·b;
2) (θa)-1 = θa-1;
3) ixtiyoriy ’ 2 Aut(G) uchun ’ ◦ θa ◦ ’-1 = θ’(a):
Isbot. 1) Ixtiyoriy a; b 2 G elementlar uchun
(θa ◦ θb)(c) = θa(θb(c)) = θa(b · c · b-1)
= a · (b · c · b-1) · a-1 = (a · b) · c · (a · b)-1 = θa·b(c):
Demak, θa ◦ θb = θab:
2) θa ◦ θa-1 = θa·a-1 = θe = iG va θa-1 ◦ θa = θa-1·a = θe = iG ekanligidan
(θa)-1 = θa-1 kelib chiqadi.
3) Ixtiyoriy ’ 2 Aut(G) uchun
(’ ◦ θa ◦ ’-1)(b) = ’(θa(’-1(b))) = ’(a · ’-1(b) · a-1)
= ’(a) · ’(’-1(b)) · ’(a-1) = ’(a) · b · (’(a))-1 = θ’(a)(b):

Demak, ’ ◦ θa ◦ ’-1 = θ’(a):

2.3.8-teorema. G gruppaning Inn(G) ichki avtomorfizmlari Aut(G) avtomorfizmlar gruppasining normal qism gruppasi bo‘ladi, ya’ni Inn(G) C Aut(G):
Isbot. Ayniy akslantirish uchun iG = θe ekanligidan iG 2 Inn(G) kelib chiqadi. Ixtiyoriy θa; θb 2 Inn(G) uchun θa ◦ θb-1 = θa ◦ θb-1 = θa·b-1 2 Inn(G)bo‘lganligi uchun Inn(G) qism gruppa bo‘ladi. Va nihoyat, 8’ 2 Aut(G) uchun’ ◦ θa ◦ ’-1 = θ’(a) 2 Inn(G) ekanligidan Inn(G) C Aut(G) kelib chiqadi.Ta’kidlash joizki, G gruppaning markazi Z(G) normal qism gruppa bo‘lib,G=Z(G) faktor gruppa esa G gruppaning ichki avtomorfizmlar gruppasiga izomorf bo‘ladi. Ya’ni quyidagi teorema o‘rinli.