O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi buxoro davlat pedagogika instituti “aniq fanlar” kafedrasi

H = {e, ag, H = {e, b2g, H3 = {e, a • bg, H4 = {e, a • b2g, H5 = {e, a • b3}

gruppalar D4 ning tartibi 2 ga teng qism gruppalari bo'ladi. Uning tartibi 4 ga teng qism bo'lgan qism gruppalari esa quyidagilardan iborat:

Ti = {e,b,b2,b3}, 

T2 = {e, a, b2, a • b2},

T3 = {e, a • b, b2, a • b3}.

Endi yana bir tartibi 8 ga teng bo'lgan gruppa Q8 kvaternion gruppasini qaraymiz.

2.2.1- ta’rif. Hosil qiluvchi elementlari a,b bo'lib,

ord(a) = 4, a2 = b2 va b • a = a3 • b

bo'lgan G gruppaga kvaternion gruppasi deyiladi.

Boshqacha aytganda, kvaternion gruppasi {1,i,j,k, —1, — i, —j, —k} element- lardan tashkil topib, i2 = j2 = k2 = —1, ij = — ji = k, jk = —kj = i, ki = —ik = j shartlarni qanoatlantiruvchi gruppadir.

Quyidagi misolda matritsalar gruppasining Q8 gruppaga izomorf bo'lgan qism gruppasini ko'rsatamiz.

2 .2.4- misol. Aytaylik, G C GL2(C) quyidagi matritsalardan hosil qilunivchi gruppa bo'lsin

U holda ord(A) = 4 va

B undan tashqari,

Ya'ni, BA = A3B, demak G = (A,B) kvaternion gruppasi.kelib chiqadi.2.3.4-misol. D4 gruppaning ichki avtomorfizmlar gruppasi Inn(D4) ni toping.Yechish. 2.3.9-teoremaga ko‘ra Inn(D4) ∼= D4=Z(D4) bo‘lib, o‘z navbatidajZ(D4)j = 2 ekanligidan D4=Z(D4) faktor gruppaning tartibi 4 ga tengligi kelibchiqadi, ya’ni

D4=Z(D4) = fe · Z(D4); a · Z(D4); b · Z(D4); (a · b) · Z(D4)g:
Bundan esa, b2 2 Z(D4); a2 = e va (a · b)2 = e ekanligini hisobga olsak,D4=Z(D4) faktor gruppaning birlik elementdan farqli barcha elementlarining tartibi 2 ga teng bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, Inn(D4) ∼= D4=Z(D4) ∼= K4 ekanligini hosil qilamiz.

Kvaternion gruppasi elementlarining umimiy ko'rinishi quyidagicha bo'lib,

Q8 = {e, a, a2, a3, b,a • b,a2 • b, a3 • b},

ord(a2) = 2 va ord(a) = ord(a3) = ord(b) = ord(a• b) = ord(a2• b) = ord(a3• b) = 4.