O’zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi buxoro davlat pedagogika instituti “aniq fanlar” kafedrasi

2.3.9-teorema. G gruppa berilgan bo‘lib, Z(G) uning markazi bo‘lsin. U holda G=Z(G) ∼= Inn(G):
Isbot. G gruppadan Inn(G) gruppaga f : G ! Inn(G) akslantirishni quyidagicha aniqlaymiz
f(a) = θa; 8a 2 G:

Ma’lumki, ushbu akslantirish syurektiv bo‘lib, u gomomorfizm bo‘ladi. Haqiqatdan ham, ixtiyoriy a1; a2 2 G uchun
f(a1 · a2) = θa1·a2 = θa1 ◦ θa2 = f(a1) ◦ f(a2):

Endi ushbu gomomorfizmning yadrosini topamiz:

Demak, Kerf = Z(G) bo‘lar ekan. U holda izomorfizm haqidagi birinchi teoremaga ko‘ra G=Z(G) ∼= Inn(G) kelib chiqadi.

2.3.2-misol. (Z; +) gruppaning barcha gomomorf obrazlarini toping.
Yechish. Aytaylik H gruppa (Z; +) gruppaning gomomorf obrazi bo‘lsin,ya’ni f : Z ! H epimorfizm mavjud. U holda izomorfizmning birinchi teoremasiga ko‘ra Z=Kerf ∼= H. Kerf yadro Z gruppaning normal qism gruppasibo‘lganligi uchun, Kerf = nZ bo‘ladi, bu yerda n ≥ 0: Demak, H ∼= Z=nZ:Ma’lumki, Z=nZ gruppa n = 0 da Z ga n > 0 da esa Zn ga izomorf bo‘ladi. Shunday qilib, Z gruppaning gomomorf obrazlari Z va Zn ekanligiga ega bo‘lamiz.
2.3.3-misol. Agar chekli G gruppadan Z8 gruppaga epimorfizm mavjud bo‘lsa,u holda G indeksi 4 va 2 ga teng bo‘lgan qism gruppalarga ega ekanligini isbotlang.
Yechish. Aytaylik, f : G ! Z8 epimorfizm bo‘lsin, u holda izomorfizmning birinchi teoremasiga ko‘ra G=Kerf ∼= Z8: Demak, G=Kerf tartibi 8 ga teng bo‘lgan siklik gruppa.
Bundan esa, G=Kerf tartibi 4 va 2 ga teng bo‘lgan H1 va H2
normal qism gruppalarga ega ekanligi kelib chiqadi. Moslik teoremasiga ko‘ra esa G gruppaning N1 va N2 normal qism gruppalari mavjud bo‘lib,
K erf ⊆ N1; N1=Kerf = H1 va Kerf ⊆ N2; N2=Kerf = H2
bo‘ladi. Bundan esa,

kelib chiqadi.