O’zbekiston respublikasi oliy

Besselning ikkinchi turdagi 0 - tartibli funksiyasi


0


deyiladi.


Shunday qilib, berilgan Bessel tenglamasining umumiy yechimi


y  C J (x) C K (x) bo’ladi.


1 0


2


0


3. Gipergeometrik tenglama (yoki Gaus tenglamasi).

2


3-Ta’rif. Ushbu





        

c (a b 1)x y aby 0





(21)


x(1 x)y


tenglamaga gipergeometrik tenglama yoki Gaus tenglamasi deyiladi,

bu yerda - a, b, c - berilgan o’zgarmas sonlar.

Bu tenglamani integrallash uchun Bessel tenglamasini

integrallashda qo’llagan usulni tadbiq qilamiz, ya’ni uning yechimini








0


y  x^ a x , (a  0) ko’rinishda izlaymiz. Gaus tenglamasi uchun


i


i


i0


aniqlovchi tenglama (  bo’lgani uchun) ( 1)  c  0 ko’rinishga


a


0


0


ega bo’lib, bundan _{1  0} va


. Demak (21) tenglamaning,  ning


 1c

2


qiymatiga mos birinchi xususiy yechimi musbat darajali qator


₁  0


ko’rinishda ya’ni,








y₁ ^ a_ix a a x a x ... a x ...


i  





2   k 

k


(22)


0


1


2


i0


ko’rinishda bo’ladi. Izlanayotgan yechimning kerakli tartibli hosilalarini

hisoblab, (21) ga qo’yib, xk ning oldidagi koeffisiyentini nolga

tenglashtiramiz :


2. Gauss - matematik


NUKUS 2020







(k 1)(c  k)a_k1 (a  k)(b  k)a  0


, bundan

(a  k)(b  k)

(k 1)(c  k)


k


a 

k1


a_k , k  0,1, 2, 3,...


.


(23)


a₀


0

ixtiyoriy va _a0  bo’lgani uchun, umumiylikka ziyon yetkazmay


a₀ 1


deb olamiz, hamda (23) dan


ab


(a 1)(b 1)ab

12c(c 1)


(a  2)(b  2)(a 1)(b 1)ab

,...,

123c(c 1)(c  2)


a₁  _c , a 


, a 


2


3


(a  k 1)(b  k 1)(a  k  2)(b  k  2)...(a 1)(b 1)ab

12...k(c  k 1)(c  k  2)...(c 1)c


a_k 


.


larni topamiz. Shuni ta’kidlash lozimki koeffisiyentlar aniq topilishi

uchun c nol va manfiy butun son bo’lmasligi kerak.

Demak topilgan koeffisiyentlarni (22) ga qo’yib, (21) tenglamaning

birinchi xususiy yechimini topmiz, bu yechimga gipergeometrik qator

deyiladi va bu yechim:


ab


ab(a 1)(b 1)

12c(c 1)


 

y₁ ^ F(a,b,c,x) 1


x ^


x


2  

...


c


(a  k)(b  k)(a  k 1)(b  k 1)...(a 1)(b 1)ab

12...k(k 1)(c  k)(c  k 1)...(c 1)c


_xk1 ...





ko’rinishda bo’ladi.

(21) tenglamaning,


ga nisbatan ikkinchi xususiy yechimini


 1c

2


topishdan avval, (21) tenglamada


 1c

y(x) x u(x)


(*)


almashtirish bajarib, bu tenglamani





            

2 c (a b 2c 3)x u (a 1 c)(b 1 c)u 0


 





(24)


x(1 x)u


ko’rinishda yozish mumkin, ya’ni (21) tenglamadagi _{a, b va c} parametrlar


a 1 c, b 1 c va 2-c


parametrlarga


o’zgardi.


Demak


(24)


tenglamaning bir xususiy yechimi 


 

u F(a 1 c,b 1 c,2 c;x)


 





bo’ladi.


1


Shunday qilib, (*) ga asosan (21) tenglamaning ikkinchi xususiy yechimi


 1c


 

y₂ x F(a 1 c,b 1 c,2 c;x)


 





bo’ladi.


Xullas, c- butun son bo’lmaganda, (21) tenglamaning umumiy


yechimi


1c

2








  bo’ladi.

y C F(a,b,c;x) C x F(a 1 c,b 1 c,2 c;x)


 





1