O’zbekiston respublikasi oliy

Besselning birinchi turdagi _n -

tartibli funksiyasi deyiladi.

(14) Bessel tenglamasining ikkinchi xususiy yechimini








0


y  x^n a x , (a  0)


k


(19)


k


k0


ko’rinishda izlaymiz. Ma’lumki, (14) tenglamada


juft daraja bilan


n


qatnashadi, ya’ni


ni


ga almashtirish natijasida tenglama

n

NUKUS 2020


n







o’zgarmaydi, demak ikkinchi xususiy yechimni, (18) da

almashtirish orqali hosil qilish mumkin.


ni _n ga


n


Shunday qilib, ikkinchi xususiy yechim


2kn





 k


( 1)


 x 





J_n(x) 


(20)


 


k!(k 1 n)  2 


k0


ko’rinishga ega bo’ladi, va bu funksiyaga Besselning birinchi turdagi


- tartibli funksiyasi deyiladi.


n


Agar butun son bo’lmasa (18) va (20) yechimlar chiziqli erkli


n


bo’ladi, chunki aJ (x) bJ (x) yig’indi, faqat


da nolga teng bo’ladi.


a b 0


n


n


Demak


bu holda Bessel tenglamasining umumiy yechimi


y  C J (x) C J (x) bo’ladi.


1 n


2 n


Agar butun son bo’lsa, J (x)  (1)n J (x) (n-butun son) tenglik bajarilgani


n


n


n


uchun (18) va (20) yechimlar chiziqli bog’liq bo’ladi. Demak butun son


n


bo’lsa, J (x) yechimdan boshqa J (x) bilan chiziqli erkli bo’lgan yechim


n


n





n


(x)  J (x)




( 1) J


izlash kerak.


Bu yechimni Y_n (x) 


_n


_n


ko’rinishda


izlaymiz, bu yerda -cheksiz kichik son.


Y  limY


funksiyaga





n


n


0


Besselning ikkinchi turdagi - tartibli funksiyasi deyiladi. Shunday


n


qilib,


butun son bo’lmaganda (4) Bessel tenglamasining umumiy


n


yechimi y  C J (x) C Y (x) bo’ladi.


1 n


2 n


2-Misol.


    

xy 0


tenglamani darajali qatorlar yordamida


xy


y


integrallang.


Yechish. Berilgan tenglama (14) ko’rishdagi tenglama bo’lib, bu yerda

bo’ladi. _{x  0} maxsus nuqtada berilgan tenglama uchun aniqlovchi


n  0


tenglama


( 1)    0 yoki 2  0 ko’rinishga ega bo’lib,     0 karrali ildizga


1


2


ega bo’ladi. Demak berilgan tenglamaning bitta xususiy yechimi darajali

qator ko’rinishda ikkinchi xususiy yechimi esa ln x funksiyani o’z ichiga

olgan bo’lib, u (13) ko’rinishda izlanadi. Demak birinchi xususiy








yechimni y  a xk , (a  0) ko’rinishda izlaymiz va


a

₁ deb qabul

0


k


0


k0


qilib, (17) dan (n  0 da) qolgan noma’lum koeffisiyentlarni topamiz:

a_2k1 ^{ 0 (k  0,1, 2,...),}


 k

( 1)


a₂   ¹ , a 


1


, a  


1


, …, a 


.

2  2k


4


6


2k


₂2


2  2

4 2


2  2  2

6 4 2


(k!) 2


Demak berilgan tenglamaning birinchi xususiy yechimi


NUKUS 2020










2k

 k  

( 1) x





y (x)  J (x) 1


1


0


 


2


   2 


k!


k0


ko’rinishga ega bo’ladi. J (x) funksiyaga Besselning birinchi turdagi 0


0


- tartibli funksiyasi deyiladi.


Ta’kidlganimizdek ikkinchi xususiy yechim ln x funksiyani o’z








ichiga yechim bo’lib, uni


y (x)   J (x)ln x 


a_k xk


(  const )


2


0


k0


ko’rinishda izlaymiz. Yuqoridagidek (umumiylikka zarar yetkazmay  1

va a₀  0 deb olib) noma’lum koeffisiyentlar usulini qo’llab,

koeffisiyentlarni topamiz va yechimni quyidagicha yozamiz:


x²


x⁴

2  2


x⁶


1 1 







1 ^{1 }







y (x)  K (x)  J (x)ln x 








1 


_ ....


2


0


0





2² 2 4  2  2 4 6  2 3


2  2  2


K (x) funksiyaga