O’zbekiston respublikasi oliy

1-Misol.


  

y xy y 0


tenglamani darajali qatorlar yordamida


integrallang.


Yechish. Berilgan tenglama yechimini (4) ko’rishda izlaymiz va




















_y(x)  a x ,


i


y^{ } ia xi 1, y





 





i2

i(i 1)a x

i


i


i


i0


i1


i2


larni berilgan tenglamaga qo’yamiz:














 


i2 


i 

ia x

i


i  .

a x 0


i(i 1)a x





i


i

i0


i2


i1


Endi esa noma’lum








koeffisiyentlarni topish uchun

a const (i 0,1, 2,...)


i


ning bir xil darajalari oldidagi koeffisiyentlarni nolga tenglaymiz va


x


0


   

x : 2 1 a


a


0


2


0


1


  

x : 3 2 a 2a 0





3


1


2


  

x : 4 3 a 3a₂ ^{ 0}


4


3


  

x : 5 4 a 4a₃ ^{ 0}


5


.


.............................


tenglamalarni hosil qilamiz. Birinchi holda, soddalik uchun _a0   va


2


a₁  0


bo’lsin deb olamiz. Hosil bo’lgan tenglamalarning birinchisidan


^a2 ^1


, ikkinchisidan esa _a3  , aniqlangan va _a3 ning qiymatlaridan


0


a₂


hamda hosil bo’lgan tenglamalarning uchunchisi va to’rtinchisidan


a₄   ¹


a₅


 .

0


va


Demak


bu


holda yechim


4


(1)k1

x2k


x


4


x


6








y₁(x)  2  x








...  2 


ko’rinishda bo’ladi.


2


k 1





14 1416


2i


k1


 2


i0


Ikkinchi holda, _a0  va


0


a₁


1

  bo’lsin, u holda birinchi tenglamadan


NUKUS 2020







1


a  0, ikkinchisidan esa a  . Aniqlangan a va a ning qiymatlaridan


2


3


2


3


3


1

35


hamda uchunchi va to’rtinchi tenglamalardan a  0 va a  


.


4


5


3


_x5


  k1 2k1

( 1) x

.


Demak ikkinchi yechim _y2(x)    ^x


x





...

 





 

3 1 3 5


k 1




(2i 1)


k1


 


i0


Shunday qilib, berilgan tenglama umumiy yechimi





k1 2k





k1 2k1

(1) x


(1) x








y(x)  C₁


 C₂


 2C₁


bo’ladi.


k1


k1


2i


k1





2


k1





(2i 1)





i0


i0


1-Ta’rif. Ushbu








0


x^ a x , (a  0)


i


(6)


i


i0


ko’rinishdagi qatorga, umumlashgan darajali qator deyiladi, ,u yerda  -








berilgan son,


a_i xi darajali qator esa biror  da yaqinlashuvchi.

x R


i0


Ma’lumki, agar  -nomanfiy butun son bo’lsa (6) qator, darajali qator

bo’ladi.


2-Teorema. Agar  nuqta (1) tenglamaning maxsus nuqtasi


x x₀


bo’lib,

















(x x )





i








i

(x x )

0


i


0


i


(7)


p(x)  i0


q(x)  i0


,


;


x  x₀


(x  x )2

0














( bu yerda  (x  x )i va


 (x  x )i darajali qatorlar biror _x  _x0  _R

i 0


i


0


i0


i0


da yaqinlashuvchi) bo’lsa, hamda  


₁ koeffisiyentlar bir paytda

va


,


0


0


nolga aylanmasa, u holda (1) tenglama hech bo’lmaganda bitta








0


y(x)  (x  x₀)^ a (x  x ) , (a  0)


i


(8)


i


0


i0








ko’rinishdagi yechimga ega bo’lib,


a (x  x )i darajali qator hech

i 0


i0


bo’lmaganda _x  _x0  da yaqinlashuvchi bo’ladi.


R


(1) tenglamaning _x  _x0 maxsus nuqta atrofidagi (8) ko’rinishdagi

umumlashgan darajali qator tarzidagi yechimini izlash uchun, (8) ning


NUKUS 2020

kerakli tartibli hosilalari hisoblanadi va (1) tenglamaga qo’yiladi hamda

x  x ning turli darajalari oldidagi koeffisiyentlari nolga tenglashtiriladi.


0





Umumiylikga ziyon yetkazmay a  0 deb farazqilsak, x  x 


ning


0


0


oldidagi koeffisiyentini nolga tenglashtirish natijasida  ni aniqlash

mumkin bo’lgan quyidagi


( 1)  p   q  0


(9)


0


0


kvadrat tenglamani hosil qilamiz, bu yerda


p  lim (x  x ) p(x),


q₀ ^ lim (x x ) q(x)





2


.


(10)


0


0


0


xx


xx


0


0


(9) tenglamaga