O’zbekiston respublikasi oliy

Eslatma. Agar (21) tenglamada c- butun son bo’lsa, aniqlovchi tenglama

ildizlari orasidagi ayirma nol yoki butun son bo’ladi, bu holda (21)

tenglama umumiy yechimida logarifmik had qatnashadi.


NUKUS 2020







3-Misol. Ushbu  2  


   Lejandr3 tenglamasining





(1 x )y 2xy n(n 1)y 0


xususiy yechimini toping.

Yechish. Lejandr tenglamasida x 1 2t almashtirish bajaramiz, u holda





_{ } dy


2 2

d y d y

 topilganlarni berilgan tenglamaga


1 x dy


t 


,


,


2


dx


2dt dx² 4dt²


qoyib,


2


1

4


d y


dy


 

(1 (1 2t) )


2





2(1 2t)











 ,

n(n 1)y 0


dt²


dt


yoki


   tenglamani hosil qilamiz . Bu











t(1 t)y (1 2t)y n(n 1)y 0


tenglama (21) ko’rinishdaga Gaus tenglamasi bo’lib, bu yerda

a  n, b  n 1 va c 1. Bu tenglamaning bitta xususiy yechimi

y(t)  F(n,1 n,1;t) , yani Lejandr tenglamasining bir xususiy yechimi (







1 x 


x 1 2t almashtirishga asosan) y(x) F n,1 n,1;





 


bo’ladi.








2 


 

1 x


_{1 d} n

(x2 1)n bo’ladi,

n

2  2 n! dx







Tekshirib ko’rish mumkinki, F n,1 n,1;










n


1 d ⁿ

2ⁿ n! dxⁿ


ya’ni


p_n (x) ^


_(x2 ₁₎n


Lejanr polinomi gipergeometrik


funksiyaning (a  n, b  n 1 va c 1 bo’lgan) xususiy holi bo’ladi.


Xulosa.


Differensial tenglamalar kursida chiziqli differensial tenglamadan

boshlab yuqori tartibli tenglamalargacha bo’lgan tenglamalarni turli

xil usullarda yechishni o’rganamiz. Xususan darajali qatorlar orqali

integrallash ham shular jumlasidandir. Bu kurs ishida darajali qatorlar

yordamida bir necha tur differensial tenglamalarni yechilishi haqida

ma’lumotlar berildi. Ularga doir misollar yechilishi bilan ko’rsatildi.


Foydalanilgan adabiyotlar.

1. Salohiddinov M.S., Nasriddinov G.N. Oddiy differensial

tenglamalar. Toshkent, “O’zbekiston”, 1994

2. Понтрягин Л.С. Обыкновенние дифференциальные уравнения.

М.:Наука, 1969.


3


Lejanr- matematik


NUKUS 2020

3. Степанов В.В. Курс дифференциальних уравнений.

М.:Гиз.Физ- мат. Литература.1958.

4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифферениалным

уравнениям. М.:Наука, 1979.


NUKUS 2020