O’zbekiston respublikasi oliy

aniqlovchi tenglama deyiladi. Aniqlovchi

tenglamaning ildizlariga qarab (1) tenglamaning yechimlari aniqlanadi.


Agar (9) tenglamaning  va  ildizlari turli bo’lsa, (1) tenglama


1


2


har doim (8) ko’rinishdagi, ya’ni











1


i

0


y (x)  (x  x ) 1 a (x  x ) ,(a


1  ) ( bu yerda Re^{1 } Re ^{2 ) (11)}


0


1


0


i


0


i0


yechimga ega bo’ladi. Agar  - musbat butun son bo’lmasa, u holda


1


2


(1) tenglama  ildizda mos umumlashgan qator ko’rinishdagi


2











2


i

0


y (x)  (x  x ) 2 a (x  x ) ,(a


2  )


(12)


0


2


0


i


0


i0


yechimga ham ega bo’ladi. Agar  - musbat butun son bo’lsa, u holda


1


2


2-xususiy yechim (11) ko’rishda yoki











2


i


y (x)  (x  x ) 2 a (x  x )   y (x) ln(x  x ), (


^{ } 0⁾


2


0


i


0


1


0


i0


ko’rishda bo’ladi.


Nihoyat, agar (9) tenglamaning  va  ildizlari bir xil bo’lsa,


1


2


ya’ni    bo’lsa, umumlashgan darajali qator ko’rinshda bitta xususiy


1


2


yechimga ega bo’ladi, ikkinchi xususiy yechimda





qatnashgan


ln(x x )


0


bo’ladi va uni










i


y (x)  (x  x ) 1 a (x  x )   y (x) ln(x  x ), (


^{ } 0⁾ (13)


2


0


i


0


1


0


i0


ko’rinishda izlash kerak bo’ladi.

2. Bessel tenglamasi.

2-Ta’rif. Ushbu










2     2  2

n y 0


(14)


x y xy


x


NUKUS 2020





tenglamaga Bessel tenglamasi deyiladi, bu yerda n-berilgan o’zgarmas

1

son.


Umuman aytganda bu tenglama bilan aniqlangan Bessel

funksiyalarini elementar funksiyalar yordami bilan ifoda qilib bo’lmaydi.

Bessel tenglamasi ikkinchi tartibli chiziqli tenglama bo’lganidan uni

to’liq intervallash uchun ikkita _{y1va y2} erkin xususiy yechimlarni bilish

kifoya qiladi.


Ma’lumki x  0 nuqta (14) tenlama uchun maxsus nuqta bo’lib, bu nuqta

atrofida tenglamani quyidagi


2  2

x²


  ¹   ^x


n


(15)


y


y




y 0


x


2  2

x²


1


q(x) ^{ x}


n


ko’rinishda yozib olsak, ((1) ga asosan ) p(x)  ,


bo’ladi.


x


(15) tenglamaga mos aniqlovchi tenglama (10) ko’rinishda bo’lib, (10) ga


2  2

x²


1


x


n


asosan p  lim xp(x)  lim x 1,


q₀ ^ lim x q(x) lim x


2




x0


2


  2


n


0


x





x0


x0


x


0


bo’ladi. Demak, (9) ko’ra aniqlovchi tenglama       2  , yoki


(


1)


n


0


2  2  ko’rinishda bo’lib, bu tenglama yechimlari  


  


n


0


n,


n


1


2


bo’ladi.


(14) Bessel tenglamasining birinchi xususiy yechimini (   da)


n


1








0


 n

y x


k


(  )


(16)


a x , a


0


k


k0


umumlashgan qator ko’rinishda izlaymiz.





 larni (14)


y, y va y


tenglamaga qo’yib, ba’zi soddalashtirishlardan

so’ng


_xn


ga qisqartirishdan

















(k  n)  n a x  a_k x^k2  0


2


2 


k








k


k0


k0


tenglamani olamiz. Bundan,

koeffisiyentlarini nolga tenglashtirib:


ning turli darajalari oldidagi


x


1


Bessel- matematik


NUKUS 2020












0


2  2 ^ 0,

n a


0

x :


n





2


2 



1


(1 n)  n a  0,


x¹ : 





(2  n)2  n a  a  0,


2 



2


_x2 _:





0


3


  2  2   


(17)


x : (3 n) n a a 0,







3


1


.


...........................................


x^k : ^








2  2


 _ak2  _0,


(k n) n a








k


..............................................


(17) dagi birinchi munosabatdan


ixtiyoriy qiymat qabul qilishi


a₀


mumkinligi ma’lum, ikkinchi munosabatdan esa  ni olamiz. Qolgan


a

1


0


koeffisiyentlarni ham keyingi munosabatlardan quyidagi aniqlaymiz:


^a0


^a0


a₂  


, a  0, a 


, a  0, ...,

5

2 (1 n)(2 n) 1 2

  


3


4


2 

2 (1 n)


4 


 k


^{( 1) a}0


a_2k1  0, a 


,


(k 1, 2, 3,...) .


2k


2k 





 

2 (1 n)(2 n)...(k n) k!


Matemetik analiz kursidan ma’lumki, k! (k 1)( bu yerda ₍ ₎-


Eylerning gamma funksiyasi).





koeffesiyentlarni soddaroq


a (k 1, 2,..)


2k


1


holda yozish uchun


ni

a₀ ^


tanlaymiz, hamda gamma


a₀


n  

2 (n 1)


funksiyaning


(  k 1)  ( 1) (  2)...(  k)( 1)


xossasidan foydalamiz. Demak


 k


 k

( 1)

2k n    


( 1)

   n 


a 

2k





, (k 1, 2, ...)^.

k! (k n 1)


2k 








2 (1 n)(2 n)...(k n) k! 2 (n 1) 2


Shunday qilib, Bessel tenglamasining birinchi xususiy yechimi


2kn





 k


( 1)


 x 





J_n(x) 


(18)


 


k!(n  k 1)  2 


k0


Ko’rinishga ega bo’ladi. Bu funksiyaga