O‘zbеkistоn rеspublikasi оliy va o‘rta maхsus ta’lim vazirligi urganch davlat univеrsitеti

Teorema 2.1. Agar funksiya (2.1)-(2.4) Koshi masalasining yechimi bo‘lsa, u holda (2.5) vaznli Shturm-Liuvill operatorining spektri parametrga bog‘liq bo‘lmaydi, spektral parametrlari esa quyidagi
(2.7)

Dubrovin - Trubovis differensial tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi. Bu yerda ishoralar spektral parametr o‘z lakunasining chetiga kelganda qarama-qarshisiga o‘zgaradi.
Isbot. Faraz qilayliz funksiya (2.1) tenglamani qanoatlantiruvchi, bo‘yicha davrga ega bo‘lgan funksiya bo‘lsin. Yuqorida (2.6) ayniyatni o‘zgaruvchi bo‘yicha differensiallaymiz va quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz.

Oxirgi tenglikni ga ko‘paytiramiz

(2.6) tenglikka ko‘ra

(2.7)
(2.7) tenglik o‘rinli bo‘ladi. (2.7) tenglikni oraliqda integrallasak, u holda


(2.8)
ayniyat hosil bo‘ladi.
Endi ushbu Kamassa – Holm tenglamasini qaraymiz:
(2.9)
Bunda .
Agar (2.9) tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda (2.5) tenglamaning spektral berilganlari lar (2.8) qoida bo‘yicha o‘zgaradi. Agar (2.9) tenglamani (2.8) tenglikka qo‘ysak, u holda
(2.10)
ayniyat hosil bo‘ladi. Bu ayniyatning o‘ng tomonidagi integral ostidagi funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini va larga nisbatan
(2.11)
kvadratik forma ko‘rinishida izlaymiz. Bu yerda koeffitsiyentlar va larga bog‘liq emas. Ushbu

ayniyatdan foydalanib (2.11) ning mos koeffitsiyentlarini tenglasak, quyidagi tengliklar kelib chiqadi:


(2.12)
Demak,
(2.13)
(2.14)
(2.15)





(2.16)

funksiya (2.16) tenglikni qanoatlantiradi. Xaqiqatdan,
,

.
Bunga ko‘ra,


.
Oxirgi tenglikdan foydalanib, (2.10) tenglikni ushbu

ko‘rinishda yozib olamiz. Quyidagi


(2.19)
tengliklarga ko‘ra, quyidagi
(2.20)
tenglik hosil bo‘ladi. Bu tenglikni quyidagi







(2.21)

formulalardan foydalanib,
(2.22)
ko‘rinishda yozish mumkin. Agar oxirgi tenglikning o‘ng tomonida quyidagi yoyilmalarni ishlatsak


(2.22) tenglikni quyidagi ko‘rinishni oladi:

(2.23)
Agar (2.23) ni (2.17) ga qo‘ysak, hamda normallangan xos funksiya bo‘lgani uchun

ekanini ham e’tiborga olsak,

ya’ni
(2.24)
differensial tenglamalar sistemasinim hosil qilamiz. Quyidagi izlar formulasidan foydalanib

(2.24) tenglikni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin.
(2.25)
Bunda

Endi davriy va yarimdavriy masalalarning xos qiymatlari ga bog‘liq emasligini isbotlaymiz. Davriy yoki yarimdavriy masalalarning normallashgan xos funksiyalarini orqali belgilasak, yuqoridagi usul bilan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
(2.26)
Bunda funksiyaning davriyligini hisobga olsak, quyidagi

ayniyat kelib chiqadi.