O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti
Download 1.62 Mb. Pdf ko'rish
|
Matritsa
- Bu sahifa navigatsiya:
- II-BOB KOMPLEKS SIMMETRIK, KOSOSIMMETRIK VA ORTOGONAL MATRITSALAR.
- §1. Kompleks ortaganal va unitar matritsyalar uchun ba`zi formulalar.
- Isboti.
- 2. Kompleks matritsalarni qutub yoyilmasi. Teorema 2.3.
|
§ 5. Jordon kataklari.
Umuman aytganda, ko‘p xollarda elementar almashtirishlar elementar bo‘luvchilarni topishda ishlatiladi. Quyidagi l 1 tartibli matritsani qaraylik. λ λ λ λ λ = 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 J Bunday ko‘rinishdagi matritsalar Jordon kataklari yoki elementar yashiklar deyiladi. 30 Bundan foydalanib J 1 - λE-λ-matritsani tuzamiz; λ − λ λ − λ λ − λ λ − λ λ − λ = λ − 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 E J Bu matritsaning birinchi satr va oxirgi ustunini o‘chirib qolgan elementlardan l 1 -1 tartibli minor tuzamiz. − − − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 λ λ λ λ λ Bu minor 1 ga teng bo‘lgani uchun ν 1 = ν 2 =ν i-1 =1 bo‘ladi. Ikkinchi tomondan yagona l 1 -tartibli minor quyidagiga teng: det(J 1 - λE)=(λ 1 - λ) 1 i Demak, ν 𝑙𝑙 1 =(λ- λ 1 ) 1 i Bu yerda λ va λ 1 larning o‘rinlari almashtirildi, chunki ν l1 ning bosh xadi oldidagi koeffitsienti 1 ga teng bo‘lishi kerak (1.8) formuladan foydalanib invariant ko‘paytuvchilarni topamiz: E 1 =1, E 2 =1, ..., 1 i E =1, 1 i E =(λ- λ 1 ) 1 i . Bundan ko‘rinadiki, J 1 - λE matritsa faqat bitta (λ- λ 1 ) 1 i ga teng elementlar bo‘luvchiga ega. Endi elementlari a kj o‘zgarmas sonlardan iborat bo‘lgan A ixtiyoriy kvadrat matritsani karaymiz. A- λE λ - matritsani tuzamiz (u A matritsaning xarakteristikasi deyiladi) 31 λ − λ − = λ − nn 1 n n 1 11 a a a a E A Bu matritsaning elementar bo‘luvchilarini topamiz ( λ- λ 1 ) 1 i , ( λ- λ 2 ) 2 i , ... , ( λ- λ m ) m i . Bu elementar bo‘luvchilarning xar biri λ k (k =1,2,3,...,m) ildiziga o‘zining mos J k Jordon katagi mos keladi. Berilgan A matritsa uchun Jordonning normal ko‘rinishi deb, diogonaldagi elementlari Jordon kataklaridan, qolgan elementlari nollardan iborat bo‘lgan m 2 1 J 0 0 0 J 0 0 0 J J = ko‘rinishdagi matritsaga aytiladi. Ravshanki, J- λE matritsaning elementar bo‘luvchilari xarakteristik matritsa elementar bo‘luvchilari bilan ustma ust tushadi. Bundan tashkari, ¦A- λE¦ = 0 xarakteristik tenglamaning ildizlari elementar bo‘luvchilarning ildizlari bilan ustma-ust tushadi. Misol 1. 2 2 1 5 1 1 1 4 0 0 1 1 1 1 1 2 A − − − − − − − − = Bu matritsani Jordonning normal ko‘rinishiga keltirish uchun avval A- λE xarakteristik matritsaning elementar bo‘luvchilarini topamiz. λ − − λ − − − λ − − − − − λ − − = λ − 2 2 1 5 1 1 1 4 0 0 1 1 1 1 1 2 E A 32 Buning uchun elementar almashtirishlardan foydalanamiz. Birinchi satrni -1 ga ko‘paytiramiz. Keyin oxirgi ustunni -(2 + λ) ga ko‘paytiramiz va birinchi ustunga qo‘shamiz; bundan keyingi oxirgi ustunni ikkinchi va uchinchi ustunlargday ayiramiz: ( ) ( ) λ − λ λ − − + λ − λ − λ + − λ − − = λ − 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 1 0 0 0 E A 2 Birinchi satr uchinsiga qo‘shamiz, keyingi birinchi satrni 2- λ ga ko‘paytirib to‘rtinchi satrdan ayiramiz; bundan keyin oxirgi ustunni birinchi ustun o‘rniga keltiramiz: ( ) λ λ − − λ + λ − λ + − λ − − = λ − 1 1 0 2 2 0 0 1 1 0 0 0 0 1 E A Ikkinchi ustunni 1 +λ ga ko‘paytirib, uchinchi ustunga qo‘shamiz ( ) ( ) ( ) λ λ + λ + λ λ + λ − λ − λ − λ + − = λ − 2 2 2 1 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E A Endi ikkinchi satrni avval -2- λ ga ko‘paytirib, uchinchi satrga ko‘shamiz; keyin ikkinchi satrni -(l +λ) 2 ga ko‘paytirib to‘rtinchi ustunga ko‘shamiz. Bundan keyin to‘rtinchi ustunni -(1- λ) ga ko‘paytirib uchinchi ustunga qo‘shamiz: ( ) λ λ + λ λ − = λ − 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E A Uchinchi satrni to‘rtinchi satrga qo‘shamiz, keyin bu satrni -1 ga ko‘paytirib, to‘rtinchi ustunni uchinchi ustun bilan almashtiramiz: 33 ( ) λ + λ λ 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Nihoyat A- λE xarakteristik matritsaning normal diogonal ko‘rinishi hosil bo‘ldi. Bundan quyidagilarni topamiz: E 1 =1, E 2 =1, E 3 =λ, E 4 =λ(1+λ) 2 Demak, A- λE matritsa ildizlari λ l =0, λ 2 =0, λ 3 =λ 4 =-1, bo‘lgan uchta λ, λ , (λ+l) 2 elementar bo‘luvchiga ega. Har bir elementar bo‘luvchiga o‘zining Jordon katagi mos keladi: λ l =0 da l 1 =1; λ 2 =0 da l 2 =0 ; λ 3 =-1 da l 3 =2 bo‘lgani uchun J 1 =[0] J 2 =[0] − − = 1 1 0 1 J 3 Endi qaralayotgan matritsa uchun Jordonning normal ko‘rinishini quyidagicha yozamiz: − − = 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 J − − − − − − − − = 3 3 2 6 3 2 0 5 0 0 1 1 1 1 1 2 A Avval xarakteristik matritsani tuzamiz. 34 λ − − λ − − − λ − − − − − λ − − = λ − 3 3 2 6 2 2 0 5 0 0 1 1 1 1 1 2 E A Elementar almashtirishlar yordamida bu λ matritsani quyidagi ko‘rinishdagi normal diogonal ko‘rinishga keltiramiz: ( ) + λ λ = λ − 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E A Bundan invariant ko‘paytuvchilarni topamiz: E 1 =1, E 2 =1, E 3 =1, E 4 =λ 2 ( λ+1) 2 Demak, A- λE matritsa ildizlari λ l =λ 2 =0 , λ 3 =λ 4 =-1 bo‘lgan faqat ikkita λ 2 , ( λ+1) 2 elementar bo‘luvchilarga ega bulib, xar bir elementar bo‘luvchiga bittadan 1 1 0 1 J 0 1 0 0 J 2 1 − − = = Jordon kletkasa mos keladi. Endi qaralayotgan matritsa uchun jordonning normal formasini yoza olamiz. − − = 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 J Bu misolardan shuni ko‘ramizki, xar ikkala misolning xarakteristik tenglamalari bir xil ildizga ega, ammo Jordonning normal formasi xar xil. Buning sababi shuki birinchi misolning xarakteristik matritsasi uchta elementar bo‘luvchiga, ikkinchi misoldagi matritsa esa faqat ikkita elementar bo‘luvchiga ega. 35 § 6. Asosiy teoremalar. Endi bizning keyingi izlanishlarimizda kerak bo‘ladigan ikkita chiziqli algebraning teoremalarini isbotsiz keltiramiz Teorema1.1. Agar Λ matritsa maxsusmas bo‘lsa, u xolda A-λE va ΛAΛ -1 - λE matritsalarning elementar bo‘luvchilari bir xil bo‘ladi. Aksincha, agar A-λE va B- λE matritsalarning elementar bo‘luvchilari bir xil bo‘lsa, u xolda xar doim B =ΛAΛ -1 tenglikni qanoatlantiruvchi Λ maxsusmas matritsa topiladi. Ayrim mualliflar bu teoremani algebraning asosiy teoremasi deb ataydilar. Teorema1.2. Agar A va C lar s - tartibli simmetrik, kvadratik matritsalar bo‘lib, A aniq ishorali bo‘lsa, u xolda 1) det(A λ+C)=0 xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy; 2) har doim shunday Λ maxsusmas matritsa topiladiki, unda Λ T A Λ=E , Λ T C Λ=S 0 bo‘ladi. Bu yerda E birlik matritsa. = s 2 1 0 c 0 0 0 c 0 0 0 c C bo‘lib, c 1 , c 2 ,..., c s lar xarakteristik tenglamaning ildizlari. Teoremaning ikkinchi qismi quyidagi tasdiqqa teng kuchlidir: Agar quyidagi ikkita ∑∑ = = = ⋅ = s 1 k s 1 i i k ki x x a 2 1 x x A 1 1 T , ∑∑ = = = ⋅ = ∏ s 1 k s 1 i i k ki x x c 2 1 x x C 1 1 , kvadratik formalar berilgan bo‘lib, ularning birinchisi musbat aniqlangan bo‘lsa, u xolda shunday Λ maxsusmas matritsali x= Λz chiziqli almashtirish topiladiki, unda ( ) 2 s 2 2 2 1 z z z 2 1 z z 2 1 T + + + = ⋅ = 36 ( ) 2 s s 2 2 2 2 1 1 0 z c z c z c 2 1 z z c 2 1 + + + = ⋅ = ∏ Teorema1.2 ning ikkinchi qismidagi ikkinchi tengligidan detC 0 =det Λ t detC det Λ tenglikni hosil qilib, detS 0 =detC ekanligini e’tiborga olsak va det Λ=∆ deb olsak, detC 0 = ∆ 2 detC hosil bo‘ladi. Shuning uchun C 0 diogonal matritsa bo‘lgani uchun detC 0 =c 1 c 2 ... c s , bo‘lib, s 1 s 2 ... s s =detC ko‘rinishni oladi . Bundan tashkari ortogonal almashtirishda ixtiyoriy B kvadrat matritsaning izi Λ T B Λ matritsaning iziga teng, ya’ni C p B = C p Λ 𝑇𝑇 B Λ ekanligini isbotlash mumkin. Mashqlar: 1. Quyidagi matritsalar ustida algebraik amallarni bajaring. a) A= � 1 2 0 0 2 0 −2 −2 −1 � В=� 4 6 0 −3 −5 0 −3 −6 1 � b) А = � 13 16 16 −5 −7 −6 −6 −8 −7 � В=� 3 0 8 3 −1 6 −2 0 −5 � c) А = � −4 2 10 −4 3 7 −3 1 7 � В=� 7 −12 −2 3 −4 0 −2 0 −2 � d) А = � −2 8 6 −4 10 6 4 −8 −4 � В= � 0 3 3 −1 8 6 2 −14 −10 � e) А = � −1 1 1 −5 21 17 6 −26 −21 � В= � 8 30 −14 −5 −19 9 −6 −23 11 � f) А = � 4 5 −2 −2 −2 1 −1 −1 1 � В=� 3 7 −3 −2 −5 2 −4 −10 3 � 37 g) А = � 9 22 −6 −1 −4 1 8 16 −5 � В=� 1 −1 2 3 −3 6 2 −2 4 � 2. Quyidagi matritsalarning normasini xisoblang. 1. � 0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 � 2. � 4 1 1 −4 2 0 1 2 1 � 3. � 2 1 0 1 1 2 −1 2 1 � 4. � 2 1 11 2 1 0 4 −1 11 4 56 5 2 − 1 5 6 � 5.� −1 1 2 −1 4 0 1 −1 3 � 6. � 1 2 1 2 1 2 1 2 3 � 3. Umumlashgan transponirlangan matritsalarning 1-12 xossalarni isbotlang. 4. Umumlashgan transponirlangan matritsalarning boshqa xossalarini aniqlang. 5. Umumlashgan simmetrik matritsalarning 1-10 xossalarni isbotlang. 6. Umumlashgan simmetrik matritsalarning boshqa xossalarini aniqlang. 7. Quyidagi λ - matritsalarni avval elementar almashtirishlar yo’li bilan, so’ngra invariant ko’paytuvchilardan foydalanib kanonik ko’rinishga keltiring. 1. 𝐴𝐴(𝜆𝜆) = �𝜆𝜆 4 + 𝜆𝜆 2 + 𝜆𝜆 − 1 𝜆𝜆 3 + 𝜆𝜆 2 + 𝜆𝜆 + 2 2𝜆𝜆 3 − 𝜆𝜆 2𝜆𝜆 2 + 2𝜆𝜆 � 2. 𝐴𝐴(𝜆𝜆) = �𝜆𝜆 2 + 𝜆𝜆 + 1 𝜆𝜆 3 − 𝜆𝜆 + 2 2𝜆𝜆 𝜆𝜆 2 − 3𝜆𝜆 − 1 � 3. 𝐴𝐴(𝜆𝜆) = �𝜆𝜆 2 + 1 1 𝜆𝜆 𝜆𝜆 2 + 𝜆𝜆 � 4. 𝐴𝐴(𝜆𝜆) = � 𝜆𝜆 𝜆𝜆 + 1 𝜆𝜆 2 − 𝜆𝜆 𝜆𝜆 2 − 1� 5. 𝐴𝐴(𝜆𝜆) = � 0 1 𝜆𝜆 𝜆𝜆 𝜆𝜆 1 𝜆𝜆 2 − 𝜆𝜆 𝜆𝜆 2 − 1 𝜆𝜆 2 − 1 � 6. 𝐴𝐴(𝜆𝜆) = � 𝜆𝜆 2 𝜆𝜆 + 1 𝜆𝜆 − 1 𝜆𝜆 2 � 7. 𝐴𝐴(𝜆𝜆) = � 𝜆𝜆 𝜆𝜆 2 0 𝜆𝜆 2 𝜆𝜆 2 0 0 0 2𝜆𝜆 � 38 8. Quyidagi matritsalarni Jordonning normal formasiga keltiring. � 1 2 0 0 2 0 −2 −2 −1 � � 4 6 0 −3 −5 0 −3 −6 1 � � 13 16 16 −5 −7 −6 −6 −8 −7 � � 3 0 8 3 −1 6 −2 0 −5 � � −4 2 10 −4 3 7 −3 1 7 � � 7 −12 −2 3 −4 0 −2 0 −2 � � −2 8 6 −4 10 6 4 −8 −4 � � 0 3 3 −1 8 6 2 −14 −10 � � −1 1 1 −5 21 17 6 −26 −21 � � 8 30 −14 −5 −19 9 −6 −23 11 � � 4 5 −2 −2 −2 1 −1 −1 1 � � 3 7 −3 −2 −5 2 −4 −10 3 � � 9 22 −6 −1 −4 1 8 16 −5 � � 1 −1 2 3 −3 6 2 −2 4 � 39 II-BOB KOMPLEKS SIMMETRIK, KOSOSIMMETRIK VA ORTOGONAL MATRITSALAR. Ushbu bob kompleks simetrik, kososimmetrik va ortoganal matritsyalarni o`rganishga bag`ishlangan bo`lib, unda bu matritsiyalar qanday elementlar bo`luvchilarga ega bo`lishi mumkinligi va ularning norma formalari qarab chiqiladi. Bu formalar oddiy xolatdagiga qaraganda sezilarli darajada murakkab strukturaga ega. §1. Kompleks ortaganal va unitar matritsyalar uchun ba`zi formulalar. Lemma 2.1. L agar G matritaya bir vaqitning o`zida Ermit matritsyasi bo`lib, ortogonal bo`lsa, ya`ni 1 − = = G G G T bo`lsa, u holda u quydagi ko`rinishda tasvirlanadi: iK Ie G = , (2.1) bu yerda I -xaqiqiy simmetrik involyutiv ( ) E I = 2 klatritsa, I K − bilan o`rin almashinuvchi bo`lgan kososimmetrik matritsya: T T K K K E I I I I − = = = = = , , 2 (2.2) Agar − G yuqoridagilarga qo`shimcha ravishda musbat aniqlangan ermit matritsasi bo`lsa, (1) formulasida E I = bo`lib, iK e G = , (2.3) bo`ladi. Isboti. iT S G + = (2.4) bo`lsin, bu yerda S va T -xaqiqiy matritsalar. U holda iT S G − = va T T T iT S G + = (2.5) Shuning uchun T G G = tenglikdan T T T T S S − = = , , ya`ni S -simmetrik, T - kososimmetrik ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari (2.4) va (2.5) ga 40 asosan E G G = tenglikdan TS ST E T S = = + , 2 2 (2.6) ni hosil qilamiz. Buning ikkinchisidan S va T ning o`zaro kommutativligi kelib chiqadi. Malumki, o`zaro kommutativ matritsalar bir hil xaqiqiy ortogonal almashtirish bilan kvazidioganal kanonik formaga keltiriladi. Shuning uchun ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 , . . . , , , . . . , , , , − − + = = = O O O O s s s s s s s s O S n q q q , (2.7) { } , , . . . , , , , . . . , , 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 − − − − = O O O O O T q q t t t t t t bu yerda i i t s , -xaqiqiy sonlar. Bundan, 1 1 2 . . . , , , ... , , 2 2 2 2 1 1 1 1 − + − − − = + = O s s s it it s s it it s s it it s O iT S G n q q q q q (2.8) Ikkinchi tomondan (2.7) ifodalarni (2.6) ga qo`yib quyidagilarni topamiz; 1 , . . . , 1 , 1 , . . . , 1 , 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ± = ± = = − = − = − + n q s s t s t s t s q q (2.9) Endi tekshirib ko`rish mumkinki it s s it − tipdagi matritsalarni 1 2 2 = − t s shartdan har doim quyidagi ko`rinishda tasvirlash mumkin: , 0 0 ϕ ϕ ε − = − i e it s s it bu yerda . , , signS sh t ch s = = = ε ϕ ε ϕ . Shuning uchun (2.8) va (2.9) ga asosan quydagiga ega bo`lamiz: 1 0 0 2 0 0 2 1 0 0 1 1 , . . . , 1 , ., . . , , − − − − ± ± ± ± ± = O e e e O G q q i i i ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (2.10) yani iK Ie G = , bu yerda ( ) 1 , 1 , . . . , 1 , 1 − ± ± ± = O O I , { } 1 1 1 , . . . , , , , . . . , 0 0 0 0 − − − = O O O O O T q q ϕ ϕ ϕ ϕ (2.11) va 41 KI IK = Agar G -musbat aniqlangan ermat matritsasi bo`lsa, uning barch xarakteristik sonlari musbat bo`ladi. Ammo (2.10)ga asosan G ning xarakteristik sonlari 1 , . . . , 1 , , , , 1 1 ± ± ± ± ± ± − − q q e e e e ϕ ϕ ϕ ϕ bo`ladi. Shuning uchun G -musbat aniqlangan bo`lganda (2.10) va (2.11) dagi ± ishoralar + ishora bilan almashtirilib, ( ) E O O I = = −1 , 1 , . . . , 1 , 1 bo`ladi. Teorema 2.1. O -kompleks orthogonal matritsa xar doim quydagi ko`rinishda tasvirlanadi; iK O Re = (2.12) bu yerda R -xaqiqiy orthogonal matritsa, K -xaqiqiy kososimmetrik matritsa yani T T K K K R R R − = = = = − , 1 (2.13) Isbot. Faraz qilaylik (2.12) formula o`rinli bo`lsin. U holda T iK T R e O O = = * va iK iK T iK e R e O O 2 Re * = = bo`lib, iK e O O 2 * = (2.14) tenglikdan K matritsani aniqlashimiz mumkin. K ni aniqlaganimizdan keyin (2.12) tenglikdan R ni topamiz iK e O R − = (2.15) U holda E Oe O e R R iK iK = = − * * , yani R -unitar matritsa bo`ladi. Ikkinchi tomondan (2.15) dan kelib chiqadiki, ikkita orthogonal matritsaning ko`paytmasidan iborat bo`lgan R matritsa o`zi orthogonal, yani E K R T = bo`ladi. 42 Demak, R bir vaqitning o`zida ham orthogonal, ham unitary bo`ladi, bundan uni xaqiqiy ortogonalligi kelib chiqadi. (2.15) ni (2.12) ko`rinishda yozish mumkin. Lemma 2.2. Agar D matritsa bir vaqitda simmetrik va unitar, yani 1 − = = D D D T bo`lsa, u xolda u xar doim quydagi ko`rinishda tasvirlanadi. , iS e D = (2.16) bu yerda S -xaqiqiy simmetrik matritsa, yani T S S S = = Isboti. ( ) V V U U iV U D = = + = , (2.17) bo`lsin. U holda T T T iV U D iV U D + = − = bo`lsin T D D = dan T T V V U U = = , kelib chiqadi, yani U va V lar xaqiqiy simmetrik matritsalar. E D D = tenglikdan VU UV E V U = = + , 2 2 (2.18) kelib chiqadi. U va V matritsalar o`zaro kamutativ bo`lgani uchun ular bir xil ortogonal almashtirish bilan kanonik ko`rinishga keladi. Shuning uchun quydagilarni xosil qilamiz: ( ) ( ) , , . . . , , , , . . . , , 1 2 1 1 2 1 − − = = O t t t O V O s s s O U n n (2.19) bu yerda n k t s O O O t k , 1 , , , 1 = = = − -xaqiqiy sonlar (2.18) ning birinch tengligidan n k t s k k , 1 , 1 2 2 = = + kelib chiqadi. Shuning uchun shunday n k k , 1 , = ϕ xaqiqiy sonlar mavjud bo`lib, n k t s k k k k , 1 , sin , cos = = = ϕ ϕ bo`ladi. Bu ifodalarni (2.19) ga qo`yib, (2.17) ga asosan quydagini hosil qilamiz. ( ) , , . . . , 1 1 iS i i e O e e O D n = = − ϕ ϕ (2.20) 43 bu yerdan ( ) 1 2 1 , . . . , , − = O O S n ϕ ϕ ϕ (2.20) dan T S S S = = ekanligi kelib chiqadi. Teorema 2.2. U -unitar matritsani xar doim quydagi ko`rinishda tasvirlash mumkin: , Re iS U = (2.21) bu yerda R -xaqiqiy ortogonal matritsa, S -xaqiqiy simmetrik matritsa, yani T S S S R R R = = = = − , 1 (2.22) Isboti. (2.21) formuladan T iS T R e U = (2.23) kelib chiqadi. (2.21) va (2.23) ni xadlab ko`paytirib, (2.22) ga asosan ni xosil qilamiz iS T e U U 2 = (2.24) tenglikdan lemma 2 ga asosan S ni aniqlash mumkin. Shundan so`ng R matritsani iS Ue R − = (2.25) ko`rinishda aniqlaymiz. U holda T iS T U e R − = bo`lib, (2.24), (2.25) va (2.26) dan E Ue U e R R iS T iS T = = − − kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan, (2.25) ga asosan, R ikkita unitary matritsalar ko`paymasidan iborat, demak, R -unitar matritsa bo`lib, u bir vaqitning o`zida ham ortogon, ham unitar matritsa bo`ladi. Bundan R ning xaqiqiy matritsa ekanligi kelib chiqadi. (2.25) formulani (2.21) ko`rinishda yozish mumkin. §2. Kompleks matritsalarni qutub yoyilmasi. Teorema 2.3. Agar n k i ik a A 1 , = = -kompleks elementli xosmas matritsa bo`lsa, y holda quydagi yoyilma o`rinli: , SO A = (2.26) va 44 1 1 S O A = (2.27) bu yerda S va 1 S simmetrik kompleks matritsa, O va 1 O esa ortogonal kompleks matritsa bo`ladi, ( ) ( ) , , 1 A A f A A S AA f AA S T T T T = = = = ( ) λ f va ( ) λ 1 f - λ ga nisbatan qandaydir ko`phadlar. (2.26) yoyilmadagi, shuningdek (2.27) yoyilmadagi S va O , mos ravishda 1 O va 1 S matritsalar faqat va faqat A va T A o`rin almashunuvchi bo`lgandagina o`rin almashinuvchi bo`ladi. Isboti: (2.26) yoyilmani hosil qilish yetarli, shuningdek bu yoyilma T A matritsaga qo`yilib, va xosil qilingan formuladan A matritsani aniqlab, (2.27) yoyilmaga kelamiz. Agar (2.26) o`rinli bo`lsa, u holda S O A SO A T 1 , − = = bo`lib, 2 S AA T = (2.28) bo`ladi. Aksinch, T AA -xosmas matritsa, , 0 2 ≠ = A AA T u holda λ funksiyasi bu matritsaning spektrida aniqlangan bo`ladi. Demak, shunday ( ) λ f interpolyatsion kopxad mavjudki, ( ) T T AA f AA = (2.29) bo`ladi. (2.29) simmetrik matritsani T AA S = orqali belgilaymiz. U holda (2.28) o`rinli bo`ladi, 0 ≠ S bo`ladi. (2.26) tenglikdan O ni aniqlab, , 1 A S O − = osongina tekshirib ko`ramizki, bu matritsa ortogonal. Shunday qilib, (2.26) da S va O o`zaro o`rin almashinuvchi bo`lsa, u holda SO A = va S O A T 1 − = matritsalar ham o`rin almashinuvchi bo`lib, O S O A A S AA T T 2 1 2 , − = = bo`ladi. Aksincha, agar A A AA T T = bo`lsa, , 2 1 2 O S O S − = 45 ya`ni O matritsa T AA S = 2 matritsa bilan o`rin almashinuvchi. Ammo bu holda O matritsa ( ) T AA f S = matritsa bilan o`rin almashinuvchi bo`ladi. Teorema 2.4. Agar ikkita kompleks simmetrik, yoki kososimmetrik, yoki ortogonal matritsalar AT T B 1 − = (2.30) bo`lsa, u holda bu matritsalar ortogonal-o`xshash, yani shunday O ortogonal matritsa mavjudki, unda AO O B 1 − = (2.31) bo`ladi. Isboti. Teorema shartidan kelib chiqsa, ( ) λ q ko`phad mavjud bo`lib, ( ) ( ) B q B A q A T T = = , (2.32) bo`ladi. Bu ko`phad matritsalar simmetrik bo`lgan xolda λ ga teng, kososimmetrik bo`lgan xolda esa λ − ga teng. Agar A va B ortogonal matritsalar bo`lsa u holda A va B matritsalarning umumiy spektrida λ 1 uchun ( ) λ g interpolyatsion ko`phad bo`ladi. (2.32) tengliklardan foydalansak, (2.30) dan ( ) ( ) T A q T B g 1 − = kelib chiqadi, yoki (2.32) ga asosan T A T B T T 1 − = bo`ladi. Bundan 1 − = T T AT T B . Bu tenglikni (2.30) ga qo`yib T T ATT A TT = (2.33) ni topamiz. T matritsaga teorema 2.3 ni qo`yamiz. ( ) ( ) 1 , , − = = = = O O TT f S S SO T T T T (2.33) ga asosan T TT matritsa A matritsa bilan o`rin almashinuvchi, u holda ( ) T TT f S = matritsa ham A matritsa bilan o`rin almashinuvchi bo`ladi, quydagiga ega bo`lamiz: . 1 1 1 AO O ASO S O B − − − = = |
