O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§3. Singulyar  dastalar. Keltirish  xaqida  teorema. 
n
m
×
  o`lchovli  
−
+ B
A
λ
matritsalarning singulyar  dastasini  qaraylik. 
r
 
bilan  dastaning  rangini,  ya`ni  aynan nolga teng  bo`lmagan  minorlarning  eng  
yuqori  tartibini   belgilaymiz. Dastaning  singulyarligidan  kelib  chiqadiki,   xar  
doim  
n
r
<
  yoki  
m
r
<
  bo`ladi. 
n
r
<
 bo`lsin, u  holda  
−
−
+
λ
λ
B
A
matritsaning  
ustunlari  chiziqli  bog`langan bo`ladi,   
ya`ni 
 
 
 
 
 
(
)
,
0
=
+
X
B
A
λ
 
 
 
 
 
(3.7) 
bu yerda 
−
x
izlanayotgan  ustun,  tenglama  nolmas  yechimga  ega. Bu  
tenglamaning    xar bir  nolmas   yechimi  
−
−
+
λ
λ
B
A
matritsaning    ustunlari  
orasidagi  qandaydir     chiziqli  bog`lanishni  ifodalaydi. Biz  (3.7)  tenglamani  
faqat  
λ
  ning   ko`pxadlari   bo`ladigan.  
( )
λ
x
  yechimlarni  qarash  bilan  
chegaralanamiz. Bunday   yechimlar  ichidan  eng   kichik  
ε
  darajalisini  
olamiz. 
( )
( )
(
)
0
1
.
.
.
2
2
1
0
≠
−
+
−
+
−
=
ε
ε
ε
ε
λ
λ
λ
λ
x
x
x
x
x
x
 
 
 
(3.8) 
   Bu yechimni  (3.7)  tenglamaga  qo`yib,  
λ
  darajaning   oldidagi    
koeffitsentlarni  nolga  tenglab,  quydagilarni  xosil  qilamiz: 
 
,
0
,
0
,
.
.
.
,
0
,
0
,
1
2
1
1
0
0
=
=
−
=
−
=
−
−
ε
ε
ε
Bx
Ax
Bx
Ax
Bx
Ax
Bx
Ax
 
 
(3.9) 
Bu  tengliklar  sistemasini  
( )
ε
ε
x
x
x
x
1
,
.
.
.
,
,
,
2
1
0
−
−
 ustun   elementlariga  nisbatan    
chiziqli  birjinsli    tenglamalar  sistemasi  sifatida  qarab,  shunday   xulosaga  
kelamizki,  bu  sistema  koyffitsiyentlaridan  tuzilgan  quyidagi  matritsa.  
                      
[
]

 

 

1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
=
+
=
ε
λ
ε
ε
B
O
O
A
O
O
O
B
O
O
A
B
O
O
A
B
A
M
M
 
     
                  (3.10) 
(
)
n
1
+
<
ε
ρ
ε
 rangga  ega.  Shu  bilan  birga 
ε
  sonining  minimallik  xossasiga  
ko`ra  quyidagi  matritsalarning 
 

 
67 
 

 

 

ε
ε
B
O
O
A
O
O
O
A
B
O
O
A
M
B
O
A
B
O
A
M
B
A
M
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
,
,
1
1
0
=
=
=
−
 
                (3.10`) 
1
1
,
.
.
.
,
−
ε
ρ
ρ
  ranglar  uchun    quyidagi   tengliklar   o`rinli. 
 
 
 
.
,
.
.
.
,
2
,
1
1
0
n
n
n
ε
ρ
ρ
ρ
ε
=
=
=
−
 
Shunday  qilib, 
ε
  son  
(
)
n
k
k
1
+
≤
ρ
  munosabatni   qanoatlantiruvchi  
K
 
indeksning  eng  kichik  qiymati. 
Teorema 3.4.  Agar (3.7)   tenglama  
0
>
ε
  minimal  darajali  yechimga  
ega  bo`lsa,  u  holda  berilgan 
B
A
λ
+
  dasta  quyidagi  dastaga  qa`tiy  
ekvivalent   boladi.  
 
 
                   
B
A
L
ˆ
ˆ
0
0
λ
ε
+
  
 
 
 
        (3.11) 
bu  yerda  
 
 
 
 
ε
ε
λ
λ
λ
ε









1
1
.
.
.
0
0
0
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
1
0
0
0
.
.
.
0
1
+







=
L
   
 
 
       (3.12) 
−
+ B
A
λ
matritsalarning    shunday   dastasiki,  unga mos  (3.7)ga  o`hshash   
tenglama  
ε
 dan  kichik  darajali  yechimga  ega  emas. 
Isboti.    Teoremaning  isbotini  quyidagi  uch  bosqichda  amalga  
oshiramiz. 
     1. Berilgan  
B
A
λ
+
  dastani   quyidagi  
 
 
 
 
         
B
A
F
D
L
0
λ
λ
ε
+
+
 
    
 
                  (3.13) 
dastaga  qa`tiy  ekvivalentligini  ko`rsatamiz  bu  yerda  
−
,
ˆ
,
ˆ
,
,
B
A
F
D
mos  
o`lchovli  to`g`ri  to`rtburchakli  o`zgarmas   matritsalar.   
     2.  
(
)
0
ˆ
ˆ
=
+
x
B
A
λ
  tenglama  
ε
 dan  kichik  darajali  yechimga  ega  emasligini  
ko`rsatamiz. 

 
68 
     3. (3.13)  dastani  (3.11)  kvazidiogonal  ko`rinishga  keltirish  mumkin  
ekanligini  ko`rsatamiz.  
   1.  Isbotning  birinchi  qismini  geometrik  shakilda  amalga  oshiramiz.  
Buning  uchun  
B
A
λ
+
-matritsalar  dastasi  o`rniga  
n
R
  fazoni   
m
R
  fazoga  
akslantiruvchi  
B
A
λ
+
operatorlar   dastasini  qaraymiz  va  bu  fazolarning    
tanlangan    bazislarida  
B
A
λ
+
  operator (3.13) formaga  egaligini  ko`rsatamiz. 
    (3.7)  tenglama  o`rniga    quyidagi  vektor  tenglamani   
 
 
 
 
 
(
)
0
=
+
x
B
A
λ
  
 
 
 
       (3.14) 
va  vektor  yechimni  
 
 
 
( )
( )
ε
ε
ε
λ
λ
λ
λ
x
x
x
x
x
1
.
.
.
2
2
1
1
0
−
+
−
+
−
=
 
                 (3.15) 
olamiz.  Bu  holda  (3.9)  tengliklar   quyidagi   vektor   tengliklar  bilan  
almashadi. 
 
 
0
,
,
.
.
.
,
,
,
0
1
1
2
0
1
0
=
=
=
=
=
−
ε
ε
ε
x
B
x
B
x
A
x
B
x
A
x
B
x
A
x
A
         (3.16) 
    Quyidagi  vektorlarni  chiziqli  bog`liqmasligini  isbotlaymiz:  
 
 
 
 
 
ε
x
A
x
A
x
A
,
.
.
.
,
,
2
1
  
 
 
       (3.17) 
Bundan,   
 
 
 
 
 
ε
x
x
x
,
.
.
.
,
,
1
0
 
 
 
 
       (3.18) 
vektorlarni   chiziqli  bog`liqmasligi  kelib   chiqadi. 
   Xaqiqatan,  
0
0
=
x
A
 
0
.
.
.
1
1
0
0
=
+
+
+
ε
ε
x
a
x
a
x
a
  tenglikdan 
0
.
.
.
1
1
0
0
=
+
+
+
ε
ε
x
A
a
x
A
a
x
A
a
  tenglikni   
xosil   qilamiz.  (3.17)  vektorlarni  chiziqlik   bog`liq  emasligidan  
0
.
.
.
1
1
=
=
=
=
ε
a
a
a
  kelib  chiqadi.  Ammo  
,
0
0
≠
x
  chunki,  aks  xolda  
( )
λ
λ
x
1
  
(3.14)  tenglamani 
1
−
ε
 darajali  yechimi  bo`lib  qoladi,   bu   bo`lishi  mumkin  
emas(
ε
ni minimal  darajali ekanligiga  zid).   Shuning  uchun  
.
0
0
=
a
   
       Agar   mos   ravishda  
𝑅𝑅
𝑚𝑚
 va  
𝑅𝑅
𝑛𝑛
 da  yangi  bazislar   uchun,   (13.17)   va  
(3.18)   vektorlarni  birinchi   bazis  vektorlar  deb  qabul  qilsak,  u  holda  

 
69 
(3.16)  ga   ko`ra  yangi  bazisda 
A
 va 
B
 operatorlarga   quyidagi  matritsalar  
mos  keladi. 
 
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
0
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
0
0
0
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
0
...
1
0
0
0
...
0
1
0
~
1









+
=
ε
A
 
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
...
...
...
*
...
*
*
...
*
0
0
...
0
0
...
...
...
...
...
1
0
...
0
0
0
1
...
0
0
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
0
...
0
1
~
1









+
=
ε
B
 
u  holda 
−
+
λ
λ
B
A
~
~
matritsa  (3.13)  ko`rinishga  ega   bo`ladi.   
Barcha avvalgi  muxokamalar  asoslangan  bo`ladi,  agarda   biz  (3.17)  
vektorlarni  chiziqli  bog’liq  emasligini  ko’rsata  olsak.  Teskarisini  faraz  
qilamiz,  ya’ni  
(
)
−
≥ 1
h
x
A
h
(3.17)  qatordagi  ozidan  avvalgi  vektorlar  orqali  
chiziqli  ifodalangan   birinchi  vektor  bo’lsin, 
 
 
 
1
2
1
1
2
1
.
.
.
x
A
x
A
x
A
x
A
h
h
h
h
−
+
+
+
=
−
−
α
α
α
  
    (3.16) ga  ko’ra  bu   tenglikni   quyidagicha  yozishimiz  mumkin: 
 
 
 
,
.
.
.
0
3
2
2
1
1
1
x
B
x
B
x
B
x
B
h
h
h
h
−
+
+
+
=
−
−
−
λ
α
α
 
ya’ni  
 
 
 
 
0
*
1
=
−
h
x
B
 
bu  yerda 
 
 
 
,
.
.
.
0
1
3
2
2
1
1
1
*
x
x
x
x
x
h
h
h
h
h
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
α
α
α
 
yana  (3.16) ga  ko’ra  
 
 
 
(
)
,
.
.
.
*
*
2
0
2
2
1
2
1
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
h
h
h
h
h
x
B
x
x
x
B
x
A
α
α
 
bu  yerda  
  
 
 
,
.
.
.
0
2
2
1
2
2
*
x
x
x
x
h
h
h
h
−
−
−
−
−
−
−
=
α
α
 
  Bu  jarayonni  davom  ettirib,  quydagi  vektorlarni  xosil   qilamiz: 
 
          
0
0
0
1
1
1
0
3
3
1
3
3
*
*
*
,
,
.
.
.
,
.
.
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
h
h
h
h
=
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
α
α
α
 
Natijada  quydagi  tengliklar  hosil  bo`ladi: 

 
70 
 
 
0
,
,
,
.
.
.
,
,
0
*
*
*
*
*
*
0
1
1
2
1
1
=
=
=
=
−
−
−
x
A
x
B
x
A
x
B
x
A
x
B
h
h
h
   
        (3.19) 
(3.19) dan  kelib  chiqadiki,  
 
 
 
( )
( )






≠
=
−
+
+
−
=
−
−
0
1
.
.
0
0
1
1
1
0
*
*
*
*
*
x
x
x
x
x
x
h
h
λ
λ
 
(3.14)  tenglamani 
ε
<
−1
h
 darajadan    ortmaydigan  nolmas  yechimi  bo`lib,  
qarama-qarshilikka  kelamiz.  
Shunday  qilib  (3.17) vektorlar  chiziqli  bo`liq  emas.  
      2.  Endi 
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
=
+
x
B
A
λ
  tenglamani  
ε
dan  kichik  darajali  yechimga  ega  
emasligini isbotlaymiz.  Avval  etiborimizni 
0
=
y
L
ε
 tenglama  (3.7)   tenglama  
kabi   eng  kichik  darajali  nolmas  yechimga  ega  ekanligiga  qaratamiz.  
Bunga  
0
=
y
L
ε
 tenglamani   
 
 
,
0
,
.
.
.
,
0
,
0
1
3
2
2
1
=
+
=
+
=
+
+
ε
ε
λ
λ
λ
y
y
y
y
y
y
 
 
 
(
)
( )
1
,
.
.
.
,
2
,
1
,
1
,
,
.
.
.
,
,
1
1
1
1
2
1
+
=
−
=
=
−
−
+
ε
λ
ε
k
y
y
y
y
y
y
k
k
k
T
  
oddiy  tenglamalar sistemasi  bilan  almashtirib  ishonch  xosil  qilishimiz  
mumkin.   
        Ikkinchi  tomondan,   agar  dasta  (3.13)  ,,uchburchak’’  ko`rinishga  ega  
bo`lsa,  u  holda  bu  dastaga  mos  keluvchi 
(
)
ε
.
.
.
,
2
,
1
=
k
M
k
 matritsalar ham 
satr  va  ustunlarini  kerakli  almashtirishlardan  so`ng  quydagi uchburchak  
ko`rinishga  keltirilishi  mumkin:  
 
 
 
 
[ ]
[
]
[
]
B
A
M
O
F
D
M
L
M
k
k
k
ˆ
ˆ
λ
λ
ε
+
+
 
 
 
 
        (3.20) 
1
−
=
ε
k
 da  bu  matritsaning  barcha  ustunlari,  jumladan  
[ ]
ε
ε
L
M
1
−
 matritsaning  
ustunlari  chiziqli  bog`liq  emas.  Ammo   
[ ]
(
)
1
1
+
−
−
ε
ε
ε
ε
L
M
   tartibli   kvadrat  
matritsa.  Shuning  uchun  
[
]
B
A
M
ˆ
ˆ
1
λ
ε
+
−
  matritsaning    ham  barcha  ustunlari  
chiziq`li  bog`liq  emas  bo`lib, 
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
=
+
x
B
A
λ
  tenglama   
ε
 dan   kichik     darajali  
yechimga  ega  bo`lmaydi.  
        3. (3.13)  dastani  unga  qat’iy  ekvivalent  bo’lgan   quyidagi   dasta  bilan   
almashtiramiz:  
 

 
71 
 
(
)
B
A
O
X
L
B
A
Y
F
D
L
E
O
X
E
B
A
O
F
D
L
E
O
Y
E
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
4
3
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
ε
ε
ε
+
−
+
+
+
=
−
+
+
        (3.21) 
bu   yerda  
4
3
2
1
,
,
,
E
E
E
E
  mos  ravishda  
1
,
1
,
,
−
−
+
−
ε
ε
ε
ε
n
m
  tartibli   birlik  
kvadrat   matritsalar,  
−
Y
X ,
mos  o`lchovli,  ixtiyori  to`g`ri  to`rtburchakli  
matritsalar.  Teorema  to`la  isbotlangan  bo`ladi,  agarda  
X
 va 
Y
 matritsalarni  
                                 
(
)
B
A
Y
F
D
X
L
ˆ
ˆ
λ
λ
ε
+
+
+
=
 
 
  
 
       (3.22) 
matritsali   tenglikni  qanoatlantiradigan   qilib  tanlash  mumkin   ekanligini  
ko`rsata  olsak.  
    
X
F
D
,
,
  matritsalar  elementlari  uchun,  shundek 
Y
  matritsa  satirlar  va 
B
A ˆ
,
ˆ
 matritsalar  ustunlari  uchun  quyidagicha   belgilashlar  kiritamiz: 
 
 
,
1
,
1
,
1
,
1
,
,
1
,
,
,
+
=
−
−
=
=
=
=
=
ε
ε
ε
j
n
k
i
x
X
f
F
d
D
jk
ik
ik
 
 
 
 
(
)
(
)
(
)
1
2
1
1
2
1
2
1
,
.
.
.
,
,
ˆ
,
,
.
.
.
,
,
ˆ
,
,
.
.
.
,
,
−
−
−
−
=
=
ε
ε
ε
n
n
T
b
b
b
B
a
a
a
A
y
y
y
Y
 
U  holda  (3.22) matritsali  tenglamani  quyidagi   skalyar    tenglamalar  
sistemasi bilan  almashtirish  mumkin: 
 
 
    
1
.
.
.
,
2
,
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
1
3
3
3
3
3
4
2
2
2
2
2
3
1
1
1
1
1
2
−
−
=









+
+
+
=
+
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
ε
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ε
ε
ε
ε
ε
ε
n
k
v
y
a
y
f
d
x
x
v
y
a
y
f
d
x
x
v
y
a
y
f
d
x
x
v
y
a
y
f
d
x
x
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
   
 
        (3.23) 
    Bu tengliklarning  chap tomonida  
λ
ga nisbatan  chiziqli  ikkixadlar turibdi.  
Bu birinchi  
1
−
ε
ta  ikkixadning   ozod  xadi keyingi   ikkixaddagi 
λ
 oldidagi  
koyfitsientga   teng.  U holda tengliklarning  o`ng  tomoni  ham  shu  shartni  
qanoatlantirishi  kerak.  Shuning  uchun  quyidagi   tengliklar o’rinli  bo’lishi  
kerak: 
 
 
 
1
,
.
.
.
,
2
,
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
,
1
1
2
3
3
2
1
2
2
1
−
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
ε
ε
ε
ε
ε
n
k
d
f
v
y
a
y
d
f
v
y
a
y
d
f
v
y
a
y
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
 
 
 
 
        (3.24) 

 
72 
Agar  (3.24)  tengliklar  o’rinli  bo’lsa ,  u  holda  (3.23) dan  
X
  
matritsaning  elementlarini   aniqlash  mumkin  bo`ladi.  
Endi  (3.24)  
Y
  matritsaning   elementlariga   nisbatan  tenglamalar  
sistemasi,  ixtiyoriy  
ik
d
 va 
ik
f
(
)
1
,
.
.
.
,
2
,
1
,
.
.
.
,
2
,
1
−
−
=
=
ε
ε
n
k
i
 da har  doim  
yechimga  ega  ekanligini  ko`rsatish  qoldi.  Xaqiqatan, 
.
.
.
,
,
,
4
3
2
1
y
y
y
y
−
−
 
noma’lum  elementlar   oldidagi  koeffitsentlardan  tuzilgan   matritsa  
transponirlangandan  so’ng ,  quyidagi  korinishda  yozilishi  mumkin. 
 
 
 
 

 

 

1
ˆ
.
.
.
ˆ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ˆ
.
.
.
ˆ
ˆ
.
.
.
ˆ
−
ε
B
O
O
A
O
O
O
B
O
O
A
B
O
O
A
 
Ammo  bu  matritsa  
−
+ B
A
ˆ
ˆ
λ
to`gri  to`rtburchak  matritsalar   dastasi  
uchun  
2
−
ε
M
  matritsadan  iborat  bo`lib, uning  rangi  
(
)(
)
1
1
−
−
−
ε
ε
n
 ga  teng,  
chunki   isbotlanganiga  ko`ra 
(
)
0
ˆ
ˆ
=
+
x
B
A
λ
  tenglama  
ε
  dan   kichik  darajali  
yechimga ega  emas.  Shunday  qilib,  (3.24) tenglamalar  sistemasining  rangi  
tenglamalar  soniga  teng,  bunday  sistema   ixtiyoriy  ozod  xadlarda  
birgalashgan  bo`ladi.  
  Teorema  to`la  isbotlandi. 
 
§4. Matritsalar  singulyar  dastasining  kanonik  formasi. 
 
Matritsaning  
n
m
×
 o`lchovli  singulyar  dastasi 
B
A
λ
+
 berilgan  bo`lsin.  
Avval bu dastani  ustunlari  va  satirlari  orasida  o’zgarmas    koyffisentli    
chiziqli  bog’langanlari  yo’q  deb  faraz  qilamiz.   
        Dastaning  rangi  
n
r
<
  bo`lsin,  ya`ni  
B
A
λ
+
  dastaning  ustunlari  chiziqli  
bog’langan  bo’lsin.  Bu  holda  
(
)
0
=
+
x
B
A
λ
                                                  
tenglama  
1
ε
  minimal  darajali  nolmas  yechimga  ega  bo’ladi.  U  holda   

 
73 
teorema  3.4 ga  asosan    berilgan dastani  quyidagi  ko`rinishga  keltirish  
mumkin: 
,
1
1
1






+ B
A
O
O
L
λ
ε
 
bu   yerda  
(
)
( )
0
1
1
1
=
+
x
B
A
λ
   tenglama  
1
ε
  da  kichik  darajali  yechimga  ega   
emas.   
      Agar tenglama 
2
ε
  minimal   darajali  nolmas  yechimga  ega  bo`lsa,  u  
holda  
1
1
B
A
λ
+
  dastaga  teorema 3.4 ni    qo’llab  berilgan dastani 
 
 
 
 










+
2
2
2
1
B
A
O
O
O
L
O
O
O
L
λ
ε
ε
 
ko`rinishga   keltiramiz. 
      Bu  jarayonni  davom   ettirib, berilgan  dastani  quyidagicha  kvazidioganal  
ko`rinishga  keltiramiz:  
 
 
 
p
p
p
B
A
O
o
O
L
O
O
L
O
O
O
L
λ
ε
ε
ε
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
 
 
 
 
 
        (3.25) 
bu  yerda   
(
)
( )
0
.
.
.
0
2
1
=
+
≤
≤
≤
<
p
p
p
p
x
B
A
λ
ε
ε
ε
  tenglama   esa nolmas  
yechimga  ega  emas, ya`ni  
p
p
B
A
λ
+
  matritsaning  ustunlari   chiziqli  
bog`lanmagan.   
Agar 
p
p
B
A
λ
+
  dastaning  satrlari  chiziqli  bog`langan bo`lsa,  u holda  
transponirlangan   
T
p
T
p
B
A
λ
+
  dasta  (3.25)   ko`rinishga   keltirilishi    mumkin  
bo`lib, 
p
ε
ε
ε
,
.
.
.
,
,
2
1
  sonlar  o`rniga  
p
r
r
≤
≤
≤
<
.
.
.
0
2
1
  sonlar    olinadi.  
Ammo  bu  holda  berilgan 
B
A
λ
+
  dasta   quyidagicha  kvazidioganal  
ko`rinishga  almashtiriladi. 

 
74 
                  
0
0
.
.
.
.
.
.
2
1
2
1
B
A
L
L
L
L
L
L
q
p
λ
η
η
η
ε
ε
ε
+
                             (3.26)
 
bu  yerda 
𝐴𝐴
0
+ 𝜆𝜆𝐵𝐵
0 
dastaning  satrlari  ham,  ustunlari  ham  chiziqli  
bog`lanmagan,  ya`ni 
𝐴𝐴
0
+ 𝜆𝜆𝐵𝐵
0 
 regulyar  dasta  bo`ladi.   
Endi  umumiy  holni  qaraymiz,  ya`ni  berilgan dastaning  satrlari  va  
ustunlari  o`zgarmas  koyffitsientli  chiziqli  bog`lanish  bilan  bog`langan  
bo`lishi  mumkin.   
(𝐴𝐴 + 𝜆𝜆𝐵𝐵)𝑥𝑥 = 0         𝑣𝑣𝑣𝑣           (𝐴𝐴
𝑇𝑇
+ 𝜆𝜆𝐵𝐵
𝑇𝑇
)𝑦𝑦 = 0 
Tenglamalar o`zgarmas  bog`lanmagan  yechimlari   maksimal  sonini  mos  
ravishda  g va h bilan  belgilaymiz. Bu  tenglamalarning   birinchisi  o`rniga  
teorema 3.4 ning  isbotidagidek 
�𝐴𝐴 + 𝜆𝜆𝐵𝐵�𝑥𝑥 = 0  vektor  tenglamani  qaraymiz.   
Bu  yerda 
𝐴𝐴  𝑣𝑣𝑣𝑣  𝐵𝐵  lar 𝑅𝑅
𝑛𝑛
  fazoni 
𝑅𝑅
𝑚𝑚
  fazoga  akslantiruvchi  operatorlar.   Bu 
tenglamaning  chiziqli   bog`lanmagan  o`zgarmas  yechimlarini  
𝑒𝑒
1
, 𝑒𝑒
2
, …   ,
𝑒𝑒
𝑔𝑔
    orqali  belgilab, ularni 𝑅𝑅
𝑛𝑛
 fazoning  birinchi  bazis   vektorlari  deb  qabul  
qilamiz.   U  holda  mos 
𝐴𝐴̃ + 𝜆𝜆𝐵𝐵�   matritsadagi  birinchi g ta ustunda  nollar  
turadi.  
                               
𝐴𝐴̃ + 𝜆𝜆𝐵𝐵� = �   0   
�
𝑔𝑔 𝑡𝑡𝑣𝑣
  , 𝐴𝐴̃ + 𝜆𝜆𝐵𝐵�� .                                 (3.27) 
   Xuddi    shundek
  𝐴𝐴
�
1
+ 𝜆𝜆𝐵𝐵�
1
  dasta  ham  birinchi h  ta  satrni  nolli qilish  
mumkin.  U  holda  berilgan  dasta  quyidagi  ko`rinishni  oladi: 

 
75 
                            
{

0
0
0
0
0
B
A
ta
h
ta
g
λ
+
 ,                                                (3.28)  
bu   yerda  
𝐴𝐴
0
+ 𝜆𝜆𝐵𝐵
0
  dastaning  satr  va  ustunlari  o`zgarmas  koyffitsientli  
chiziqli  bog`lanish  bilan  bog`lanmagan. 
𝐴𝐴
0
+ 𝜆𝜆𝐵𝐵
0
  dastaga   (3.26) 
ko`rinishdagi  tasvirlashni  qo`llash  mumkin.  Sunday  qilib,  eng  umumiy  
holda  A
+𝜆𝜆𝐵𝐵  dasta  har doim  quyidagi kanonik   kvazidioganal  ko`rinishga   
keltirilishi  mumkin. 
 
�ℎ 𝑡𝑡𝑣𝑣 �   0   
�
𝑔𝑔 𝑡𝑡𝑣𝑣
 ,   𝐿𝐿
𝜀𝜀
𝑔𝑔+1
, …   , 𝐿𝐿
𝜀𝜀
𝑝𝑝
 , 𝐿𝐿
𝜂𝜂
ℎ+1
𝑇𝑇
 , …    , 𝐿𝐿
𝜂𝜂
𝑔𝑔
𝑇𝑇
, 𝐴𝐴
0
+ 𝜆𝜆𝐵𝐵
0
��           (3.29) 
  (3.29)  dagi 
𝐴𝐴
0
+ 𝜆𝜆𝐵𝐵
0
  regulya  dastani  uning  (3.6)  kanonik  ko`rinish  
bilan  almashtirib,  quydagi  kvazidiogonal  matritsani  xosil   qilamiz: 
 
             

( )
( )








+




+
+
E
J
N
N
L
L
L
L
O
h
s
g
h
ta
u
u
T
T
p
g
g
ta
λ
η
η
ε
ε
,
,
...
,
,
,
...
,
,
,
.
.
.
,
,
1
1
1
       
       (3.30) 
bu   yerda  J    matritsa  Jordon yoki  oddiy normal  formada, 
𝑁𝑁
(𝑢𝑢)
= 𝐸𝐸
(𝑢𝑢)
+
𝜆𝜆𝐻𝐻
(𝑢𝑢)
 . 
(3.30) matritsa 
𝐴𝐴 + 𝜆𝜆𝐵𝐵  dastaning  eng  umumiy  xoldagi  kanonik  
fo`rmasini  ifodalaydi.