O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi andijon davlat universiteti

§3. Ko`mpleks  simmetrik  matritsalarning  normal  ko`rinishi. 
Teorema2. 5. Avvaldan   berilgan   ixtiyoriy   elementar  bo`luvchilarga  
ega  bo`lgan  kompleks  simmetrik  matritsa  mavjud.  
Isboti.  O`ng  diogonalidan  pastdagi  elementlari  birga  teng,  qolgan  
elementlari  nolga  teng  bo`lgan  
−
n
tartibli 
H
  matritsani    qaraymiz.  
matritsaga  o`hshash  bo`lgan  
S
  simmetrik  matritsa  mavjudligini  
isbotlaymiz: 
H
 
1
−
= THT
S
   
 
 
 
        (2.34) 
T
-almashtiruvchi  matritsani  
T
T
T
T
T
H
T
S
THT
S
1
1
−
−
=
=
=
 
shartdan  kelib  chiqib  izlaymiz.  Bu  shartni  quydagich  yozish  mumkin: 
,
V
H
VH
T
=
   
 
 
 
                  (2.35) 
bu  yerda   
V
-simmetrik  matritsa  bo`lib,  
T
 matritsa  bilan  
  
 
 
 
iV
T
T
T
2
−
=
    
 
 
 
                  (2.36) 
tenglik  orqali  bog`langan. 
        
H
va 
T
H
F
=
  matritsalarning  xossalariga  ko`ra, (2.35)  matritsani  
tenglamaning   ixtiyoriy  
V
  yechim  quydagi  ko`rinishga  ega:  
  
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
0
1
1
0
1
0
0
−
=
n
a
a
a
a
a
a
V
 
  
 
 
        (2.37) 
bu yerda  
1
1
0
,
.
.
.
,
,
−
n
a
a
a
-ixtiyoriy  kompleks  sonlar,  
     Bizga  bitta  
T
  almashtiruvchi  matritsani  izlash   yetarli,  shuning  uchun  
bu  formulaga  
0
.
.
.
,
1
1
1
0
=
=
=
=
−
n
a
a
a
  deb  olib,  
V
  matritsani  quydagicha  
aniqlaymiz: 
  
,
0
0
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0
=
V
 
 
 
                  (2.38) 

 
47 
Bundan  tashqari  
−
T
almashtiruvchi  matritsani  simmetrik  matritsa  
ko`rinishda  izlaymiz: 
T
T
T
=
 
 
 
 
                  (2.39) 
U  holda  (36)  tenglama  
T
  uchun  quydagich  yozamiz:  
iV
T
2
2
−
=
    
 
 
                  (2.40) 
Endi  
T
  noma`lum  matritsani  
V
  ning  ko`phad  ko`rinishda  izlaymiz.  
E
V
=
2
  bo`lgani  uchun  bunday  ko`phad   sifatida  
V
E
T
β
α
+
=
  birinchi  
darajali  ko`phadni  olish  mumkin.  (2.40)  tenglamadan  
E
V
=
2
  ekanligini   
xisobga  olib,  
i
2
2
,
0
2
2
−
=
=
+
αβ
β
α
  ekanligini  topamiz.  Bu munosabatlardan  
i
−
=
=
β
α
,
1
  ni  aniqlaymiz.  U holda   
iV
E
T
−
=
   
 
 
                  (2.41) 
bo`ladi.  
T
-   xosmas  simmetrik  matritsa.  Shu  bilan  birga  (2.40) dan            
,
2
1
2
1
1
1
iVT
T
iV
T
=
=
−
−
 
 yani 
(
)
iV
E
T
+
=
−
2
1
1
 
 
 
                  (2.42) 
Shunday  qilib,  
H
  matritsaning  
S
-simmetrik  ko`rinishi  quydagicha  
aniqlanadi: 
(
)(
)
,
2
1
1
iV
E
iV
E
THT
S
+
−
=
=
−
0
0
,
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0
=
V
 
                  (2.43) 
S
  matritsa  (2.35)  tenglamani   qanoatlantiradi  va 
E
V
=
2
  bo`lgani  uchun  
(2.43)  tenglikni    quydagi  ko`rinishda  ham  yozish  mumkin: 
(
)
(
)
(
)
0
0
.
.
1
0
0
0
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
.
.
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
0
1
0
0
.
.
.
1
0
2
−
−
+
=
=
−
+
+
=
−
+
+
=
i
V
H
H
i
H
H
VH
HV
i
H
H
S
T
T
T
    
        (2.44) 
(2.44) formula  
H
matritsani 
S
 simmetrik  ko`rinishini  aniqlaydi.  

 
48 
       Agar  
−
− n
H
tartibli  matritsa  bo`lsa,  uni  
( )
n
H
H
=
  deb  belgilaymiz. U  
holda  mos 
S
V
T
,
,
 matritsalarni  
( )
( ) ( )
n
n
n
S
V
T
,
,
  deb  belgilaymiz.  
    Quydagi  ixtiyoriy   elementar  bo`luvchilar  berilgan  bo`lsin: 
           
(
) (
)
(
)
,
,
.
.
.
,
,
2
2
1
1
i
i
P
P
P
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
 
 
        (2.45) 
mos  mordon  matritsani  tuzamiz: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
,
,
.
.
.
,
,
2
2
2
1
1
1
i
P
i
P
i
P
P
P
P
H
E
H
E
H
E
J
+
+
+
=
λ
λ
λ
 
Xar  bir  
( )
j
P
H
  matritsa  uchun  mos  
( )
j
P
S
  simmetrik    formani  kiritamiz.  
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
i
j
T
H
T
S
j
j
j
j
P
P
P
P
,
.
.
.
,
2
,
1
,
1
=
=
−
 
dan  
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
[ ]
1
−
+
=
+
j
j
j
j
j
j
P
P
P
j
P
P
P
j
T
H
E
T
S
E
λ
λ
 
Shuning  uchun 
 
 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
i
P
i
P
i
P
P
P
P
S
E
S
E
S
E
S
+
+
+
=
λ
λ
λ
,
.
.
.
,
,
2
2
2
1
1
1
 
        (2.46) 
 
 
 
 
( ) ( )
( )
{
}
i
P
P
P
T
T
T
T
,
.
.
.
,
,
2
1
=
   
 
                  (2.47) 
deb  olib, 
1
−
= TJT
S
 
ga  ega   bo`lamiz. 
J
S
−
ordon  matritsasining  simmetrik  ko`rinishi , 
S
  matritsa 
J
  matritsaga  
o`hshash  va  (2.46) elementar  bo`luvchilarga  ega. 
Natija2.  1.  Ixtiyoriy  
−
=
=
n
k
i
ik
a
A
1
,
  kvadrat   kompleks   matritsa  
simmetrik  matritsaga   o`xshash. 
Natija  2.2.  Ixtiyoriy  
−
=
=
n
k
i
ik
s
S
1
,
  kompleks  simmetrik  matritsa 
S
  
normal  ko`rinishga   ega  bo`lgan  simmetrik   matritsa    ortogonal –o`xshash,  
yani  shunday  
O
-ortogonal  matritsa  mavjudki  unda  quydagi  tenglik  o`rinli. 
  
.
1
−
=
O
S
O
S
  
 
 
 
                  (2.48) 
     Kompleks  simmetrik   matritsaning  normal  ko`rinishi    quydagacha  
kvazidogonal   ko`rinishga  ega: 
               
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
i
P
i
P
i
P
P
P
P
S
E
S
E
S
E
S
+
+
+
=
λ
λ
λ
,
.
.
.
,
,
2
2
2
1
1
1
 
        (2.49) 

 
49 
bu  yerda  
( )
p
S
  kataklar  quydagicha  aniqlanadi: 
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
[
]
0
0
.
.
.
1
0
0
0
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
.
.
.
1
0
.
.
.
0
0
0
1
.
.
.
0
0
0
1
.
.
.
0
0
1
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
0
1
0
0
.
.
.
1
0
2
−
−
+
=
−
+
+
=
+
−
=
i
V
H
H
i
H
H
iV
E
H
iV
E
S
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
T
T
    (2.50) 
 
§4. Kompleks  kososimmetkir  matritsaning   normal   ko`rinishi. 
 
Teorema 2.6. Kososimmetrik  matritsa  xar  doim  juft  rang  bo`lsin. U  
holda  
K
  matritsa   satirlari  orasida  
r
ta  chiziqli  bog`liq  bo`lganlari   
r
i
i
i
,
.
.
.
,
,
2
1
  mavjud  bo`lib,  qolgan  satrlar bu satrlarning  chiziqli 
 
 
kombinatsiyasidan  iborat  bo`ladi.  Shuningdek 
K
  matritsaning   mos  
satirlaridan  xosil  qilingan  ustunlari,  agaroxirgi  elementlarni  
1
−
  ga  
ko`paytirsak,  u  holda  
K
  matritsaning  ixtiyoriy  ustuni   
r
i
i
i
,
.
.
.
,
,
2
1
  nomerli  
ustunlarning  chiziqli  kombinatsiyasidan  iborat  bo`ladi.  Shuning  uchun  
r
-
tartibli  ixtiyoriy  minor  quydagi  ko`rinishda  tasvirlanishi  mumkin.  
,
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
,
,
3
2
1
3
2
1






r
r
i
i
i
i
i
i
i
i
LK
 
bu  yerda  
−
L
son.  
     Bundan     
0
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
,
2
1
2
1
≠






r
r
i
i
i
i
i
i
K
 
ekanligi  kelib  chiqadi.  Ammo  kososimmetrik   toq   tartibli   aniqlavchi  
doimo  nolga  teng. Demak  
r
-juft  son. 
Teorema 2.7.  1.Agar 
K
λ
  matritsaning  xarakteristik  son  bo`lib,  
(
) (
)
(
)
t
l
l
l
0
2
0
1
0
,
.
.
.
,
,
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
 
lar  unga  mos    elementar  bo`luvchilar  bo`lsa,  u  holda  
0
λ
−
  ham  
K
  
matritsaning  xarakteristik  soni bo`lib,   
               
(
) (
)
(
)
t
l
l
l
0
2
0
1
0
,
.
.
.
,
,
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
+
+
 

 
50 
lar  unga  mos    elementar  bo`luvchilar  bo`ladi.  
     2. Agar  nol  soni  
−
K
  kososimmetrik  matritsaning  xarakteristik  son  
bo`lib,  u  holda  
K
  matritsa  elementar  bo`luvchilari  sistemasida  nol  
xarakteristik  songa  mos  juft  darajali   elementar  bo`luvchilar  juft  son  marta  
takrorlanadi.  
Isboti.   1. 
T
K
  va  
K
 matritsalar  bir  xil  elementar  bo`luvchilariga  ega. 
Ammo 
K
K
K
T
,
−
=
  ning  elementar    bo`luvchilari  
.
.
.
,
,
2
1
λ
λ
  larni    
.
.
.
,
,
2
1
λ
λ
−
−
larga    almashtirib  xosil  qilinadi.  
       2.    
K
  matritsaning  nol  xarakteristik   soniga  
λ
  ko`rinishdagi  elementar  
bo`luvchilari  
1
b
  ta, 
2
λ
  ko`rinishdagilari  
2
b
  ta,  va  xakozo  bo`lsin. Umuman  
r
b
  barcha  
p
λ
  ko`rinishdagi  elementar  bo`luvchilarni  belgilaymiz.  
,
.
.
.
,
,
4
2
b
b
  
larni  juft  son  ekanini  isbotlaymiz.  
       
K
  matritsaning  
d
  defekti  nol   xarakteristik  sonlarga  mos  keluvchi,  
chiziqli  bog`lanmagan  xos  vektorlar  soniga  teng, ya`ni  
.
.
.
,
,
2
λ
λ
 ko`rinishdagi  
elementan  bo`luvchilar  soniga  teng.  Shuning  uchun   
.
.
.
2
1
+
+
=
δ
δ
d
 
 
 
 
 
        (2.51) 
Teorma 2.6 ga  asosan  
K
  matritsa  rangi  juft  son  bo`lib,  
,
r
n
d
−
=
  u  
holda  
d
 son  n  soni  qanday  juftlikka  ega  bo`lsa,  xuddi   shu  juftlikka  ega.  
Shunday tasdiqni  
.
.
.
,
,
5
3
K
K
  matritsalarning  
.
.
.
,
,
5
3
d
d
  defektlariga  nisbatan  
ham  aytish  mumkin,  chunki  kososimmetrik  matritsaning  toq   darajalari  
yana  kososimmetrik  matritsa  bo`ladi.  Shuning  uchun  
.
.
.
,
,
,
5
3
1
d
d
d
d
=
lar  bir  
xil  juftlikka  ega.  
Ikkinchi  tomondan  
K
  matritsani  m  darajaga    ko`targanda    bu   
matritsaning  xar  bir  
p
λ
  elementar  bo`luvchisi  pelementar  bo`luvchilarga   yoyiladi,  
m
p
>
  da  esa m ta  elementar  
bo`luvchilarga  yoyiladi.  Shuning  uchun  
.
.
.
,
,
3
K
K
  matritsaning  
λ
  ning   
darajalari  bo`lgan  elementar  bo`luvchilari  soni  quyidagi  formulalar  bilan  
aniqlanadi:  

 
51 
(
)
(
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
5
4
3
2
,
.
.
.
3
2
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
3
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
d
b
d
 
 
        (2.52) 
(2.51)  ni (2.52)  bilan  birga  qarab,  barch  
.
.
.
,
,
,
5
3
1
d
d
d
d
=
  sonlar  bir  xil  
juftlikka  egaligidan,  
,
.
.
.
,
,
4
2
δ
δ
  lar   juft  sonlar  deb  xulosa  qilamiz. 
Teorema  2.8.    Teorema  2.7.  dagi  1.  va 2.    cheklashlarni  
qanoatlantiruvchi  ixtiyoriy  berilgan  elementar  bo`luvchilarga  ega  bo`lgan  
kososimmetrik  matritsa  mavjud.  
Isboti.    Avval  ikkita  
(
)
P
0
λ
λ
+
  va   elementar  bo`luvchilarga  ega  
bo`lgan 2p  tartibli.  
( )
{
}
( )
( )
,
,
,
,
0
0
0
p
p
pp
H
H
E
E
H
E
H
E
J
=
=
−
−
+
=
λ
λ
λ
  
        (2.53)  
Kvazidiogonal  matritsa  uchun  kososimmetrik   matritsani  topamiz.  
     Buning  uchun  shunday  
T
 almashtirish  matritsasini  izlaymizki,  unda   
( )
1
0
−
T
J
T
pp
λ
 
matritsa  kososimmetrik,  ya`ni  
( )
( )
[ ]
0
0
1
1
0
=
+
−
−
T
T
pp
T
pp
T
J
T
T
J
T
λ
λ
 
yoki 
                                          
( )
( )
[ ]
0
0
0
=
+
W
J
J
W
T
pp
pp
λ
λ
   
                            (2.54) 
tenglik  o`rinli  bo`lib,  
−
W
kososimmetrik  matritsa  
T
  matritsa   bilan  
          
iW
T
T
T
2
=
   
 
 
 
        (2.55) 
tenglik  orqali  bog`langan.  
      
W
  matritsani  xar  biri  
−
p
tartibli  bo`lgan  to`rtta    kvadratik  blokka  
ajratamiz: 
                                               






=
22
21
12
11
W
W
W
W
W
 
U   holda  (2.54)  ni  quydagicha  tasvirlash  mumkin   
        
0
0
0
0
0
22
21
12
11
0
0
0
0
22
21
12
11
=














−
−
+
+






−
−
+






W
W
W
W
H
E
H
E
H
E
H
E
W
W
W
W
T
T
λ
λ
λ
λ
        (2.56) 

 
52 
(2.56) matritsani  tenglamaning  chap  tomonidagi    blok  matritsalar  ustidagi  
amallarni  bajarib,  quydagi  to`rtta  matritsani   tenglamalar  sistemasini  xosil  
qilamiz:  
(
)
(
)
0
2
,
0
,
0
,
0
2
0
22
22
21
21
12
12
0
11
11
=
+
+
=
−
=
−
=
+
+
H
E
W
W
H
H
W
W
H
H
W
W
H
H
E
W
W
H
T
T
T
T
λ
λ
 
 
 
        (2.57) 
Malumki,  agar  
A
  va  
B
  matritsalar  umumiy   xarakterstik  sonlarga  
ega  bo`lmasa  
0
=
− XB
AX
  tenglama  faqat  
0
=
X
  yechimga  ega.  Shunung  
uchun  (2.57)  ning  1-  va  4-  tenglamalaridan  
0
22
11
=
= W
W
  kelib  chiqadi.  
(2.57)  ning  2-  va 3-   tenglamalari  ustida  teorema 2.5 ning    isbotidagidek  
muloxaza  yuritib,   
0
0
.
.
.
1
.
.
.
.
.
.
0
1
.
.
.
0
1
0
.
.
.
0
12
=
= V
W
 
 
 
        (2.58) 
ni  aniqlaymiz.  
W
  ning  simmetrik  matritsa  ekanligidan   
V
W
W
=
=
12
21
 
ekanligi   kelib  chiqadi.  
  Shunday  qilib,   
( )
p
V
V
V
W
2
0
0
=






=
   
 
 
                  (2.59) 
   Ammo  §3  da   ko`rsatilganidek  (2.55)   tenglama    qanoatlantiradi,  agarda 
         
( )
( )
,
2
2
p
p
iV
E
T
−
=
   
 
 
                  (2.60) 
bo`lsa.  Bundan   
  
 
 
 
( )
( )
(
)
p
p
iV
E
T
2
2
1
2
1
+
=
−
 
 
 
 
        (2.61) 
Demak,   izlanayotgan  kososimmetrik  matritsa  quydagi  formula  bilan  
topiladi: 

 
53 
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
[
]
pp
p
p
pp
pp
pp
p
p
pp
p
p
pp
J
V
V
J
i
J
J
iV
E
J
iV
E
K
T
0
2
2
0
0
0
2
2
0
2
2
0
2
1
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
+
−
=
=
+
−
=
       (2.62) 
  
( )
pp
J
0
λ
 va  
( )
p
V
2
  larning  o`rniga  (2.53) va (2.59)  dagi  mos   blok  matritsalarni  
qo`yib,  quydagini  topamiz: 
  
( )
(
)
(
)








−
+
+
−
+
+
−
=
=












−
−
−
+
+
+






−
−
=
H
H
VH
HV
V
i
VH
HV
V
i
H
H
V
V
E
H
H
E
H
H
i
H
H
H
H
K
T
T
T
T
T
T
pp
0
0
0
2
2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
0
λ
λ
λ
λ
λ
   (2.63) 
ya`ni   
( )
.
0
1
...
0
0
.
0
0
...
2
1
.
...
0
0
.
0
0
...
.
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
0
.
...
0
1
.
2
...
.
0
0
.
...
1
0
.
2
...
.
0
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
0
0
...
2
.
0
1
...
0
0
0
0
...
0
.
1
0
...
0
0
...
...
...
.
...
.
...
...
...
...
...
2
...
0
0
.
0
0
...
0
1
2
...
0
0
.
0
0
...
1
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
i
i
i
i
i
i
i
i
K
pp
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
          (2.64) 
Endi  
q
λ
  bitta  elementar  bo`luvchiga  ega  bo`lgan    
−
q
tartibli  
( )
q
K
  
kososimmetrik   matritsani  quramiz,  bu  yerda  
−
q
toq  son.  Izlanayotgan  
kososimmetrik  matritsa  quydagi  matritsaga  o`xshash  bo`ladi.  
                
( )
0
0
...
0
0
0
1
0
...
0
0
0
0
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
0
0
...
0
1
0
−
−
=
q
J
 
 
                  (2.65) 
 
                
( )
( )
1
−
=
T
TJ
K
q
q
   
 
 
                  (2.66) 
deb  olib,  kososimmetrik  shartidan  quydagini  topamiz: 

 
54 
 
( )
( )
,
0
1
1
=
+
W
J
J
W
q
q
  
 
 
                  (2.67) 
bu  yerda   
1
2iW
T
T
T
=
   
 
 
 
                  (2.68) 
   Bevosita   tekshirib  ko`rib,  ishonch  xosil  qilish  mumkin,  
( )
0
0
...
1
...
...
...
...
0
1
...
0
1
0
...
0
1
=
=
q
V
W
 
matritsa  (2.67)  tenglamani  qanoatlantiradi.  
1
W
 ni  bunday  tanlab,   (2.68)  dan  
quydagini  topamiz: 
             
( )
( )
( )
( )
[
]
q
q
q
q
iV
E
T
iV
E
T
+
=
−
=
−
2
1
,
1
   
                  (2.69) 
       
( ) ( )
( )
[
]
( ) ( )
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
( )
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
V
J
J
i
J
J
iV
E
J
iV
E
K
T
T






+
+
−
=
+
−
2
           (2.70) 
mos  xisoblashlarni  bajarib,  quydagini   topamiz: 
 
 
 
 
 
 
                    
( )
0
.
.
.
1
0
0
.
.
.
0
1
.
.
.
.
.
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
1
0
.
.
.
0
.
.
.
.
.
0
.
.
.
0
1
0
.
.
.
1
0
2
−
−
+
−
−
−
=
i
K
q
 
                  (2.71) 
  
   Teorema  2.7  dagi  shartlarni  qanoatlantiruvchi  ixtiyoriy  elementar  
bo`luvchilar.  
                
(
) (
)
sonlar
toq
q
q
q
v
k
u
j
v
q
p
j
p
j
k
j
j
−
=
=
+
−
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
2
,
1
,
,
.
.
.
,
2
,
1
,
,
2
1
λ
λ
λ
λ
λ
                (2.72) 
berilgan   bo`lsin.  
  U  holda  kvazidiogonal   kososimmetrik  matritsa. 
 
(
)
(
)
( )
( )
{
}
v
i
i
i
q
q
p
p
p
p
K
K
K
K
K
,
.
.
.
,
,
,
.
.
.
,
~
1
1
1
1
λ
λ
=
 
 
        (2.73) 

 
55 
bo`ladi.  
Natija2.3.  Ixtiyoriy  kompleks  kososimmetrik  
K
  matritsa  (2.64), 
(2.71), (2.73)  formulalar  bilan  aniqlangan  
K
~
  normal  formaga  ega  bo`lgan  
kososimmetrik  matritsa   ortogonal-o`xshashdir,  ya`ni  shunday      kompleks   
ortogonal  
O
  matritsa  mavjudki,  unda  
  
1
~
−
=
O
K
O
K
  
 
 
 
        (2.74) 
Eslatma. Agar 
−
K
xaqiqiy  kososimmetrik   matritsa  bo`lsa,  u  holda  quydagi  
chiziqli  elementar  bo`luvchilarga  ega: 
                                    
,
,
.
.
.
,
,
,
,
.
.
.
,
,
1
1




ta
v
u
u
i
i
i
i
λ
λ
ϕ
λ
ϕ
λ
ϕ
λ
ϕ
λ
−
+
−
+
 
−
j
ϕ
xaqiqiy  sonlar.  Bu  holda  (2.73) da  
1
,
1
=
=
k
q
p
j
  deb  olib,  xaqiqiy  
kososimmetrik  matritsa  normal  ko`rinishni  hosil  qiladi:  
 






−
−
=
0
,
.
.
.
,
0
,
0
0
,
.
.
.
,
0
0
~
1
1
i
i
K
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ