Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti

3 - misol. Ushbu
(10)
birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani quyidagi

ko‘rinishda ifodalaymiz.
Bu tenglamada y o‘zgaruvchini parametr deb qaraymiz. Oxirgi tenglama birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bo‘lgani uchun uning umumiy yechimi bo‘ladi. U holda xususiy hosilali (10) differensial tenglamaning umumiy yechimi
,
ko'rinishda topiladi.
Xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimi oddiy differensial tenglamadan farqli o‘laroq berilgan tenglamaning tartibiga teng bo'lgan sondagi ixtiyoriy funksiyalarga bog‘liq bo‘lar ekan.
4 - misol. Ushbu yoki
(11)
tenglamaning umumiy yechimini toping.
YECHISH. Berilgan tenglamani x bo‘yicha integrallab,

tenglamani hosil qilamiz. Bunda tp(y) - ixtiyoriy funksiya. Oxirgi tenglamani y bo‘yicha integrallab,
(12)
tenglikni olamiz. Bu erda ipi (x) - ixtiyoriy funksiya.
Endi (12) tenglikda

Deb belgilab,
(13)
formulaga ega bo‘lamiz.
Bunda ixtiyoriy funksiya bo‘lganligi uchun ham y o‘zgaruvchining ixtiyoriy funksiyasi bo'ladi.
Xususiy hosilali (11) differensial tenglamaning umumiy yechimi yordamida uning xususiy yechimini ham topish mumkin. Buning uchun qaralayotgan masalaning berilgan shartlari asosida va funksiyalarning aniq ko‘rinishlari topiladi.
Shuni ta'kidlash muximki, ayrim xususiy hosilali differensial tenglamalarning xususiy yechimlarini aniq ko‘rinishlarini topish mumkin. Ko‘p hollarda xususiy hosilali differensial tenglamalarining xususiy yechimlarini topish usullari yaratilgan. Qaralayotgan tenglamani, ma'lum boshlang'ich va chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan yechimlari topiladi.
Fizikaviy jarayonlarning matematik modelini qurish va uni tadqiq etish matematik fizikaning asosiy vazifasi hisoblanadi. Mexanika va fizikaning juda ko‘p masalalari ikkinchi tartibli
xususiy hosilali differensial tenglamalar orqali ifodalanadi.
Maʼlumki, variatsion xisob funktsionallarning ekstremum qiymatlarini topish bilan shug’ullanuvchi matematikaning bo’limidir.
Biror D soha bo` yicha olingan

integralni, yaʼni funktsionalni qaraymiz. Аsosiy masala D sohada o’zining ikkinchi tartibgacha hosilalari bilan birga uzluksiz, sohaning chegarasida berilgan qiymatlarga ega bo’lgan va funktsionalga ekstremum qiymat beruvchi u(x,y) funktsiyani topishdan iborat.
Variatsion xisob kursida isbotlanadiki, funktsionalga ekstremum qiymat beruvchi u(x,y) funktsiya Eyler tenglamasi deb ataluvchi

tenglamani qanoatlantirishi zarurdir.
1. Dirixle printsipi. Bir qatorlarda tatbiq, etishda uchraydigan xususiy hosilali differentsial tenglamalar variatsion masala uchun Eyler tenglamasidan iborat bo’ladi. Masalan, chegarasi S bo’lgan D soha buyicha olingan
(14)
Dirixle integralining minimum masalasi uchun, (80) ga asosan , Eyler tenglamasi vazifasini Du(x,y) = 0 Laplas tenglamasi bajaradi. D da uzluksiz, D da birinchi tartibli bo’lak-bo’lak uzluksiz hosilalarga va chekli Dirixle integraliga ega bo’lgan, S da avvaldan berilgan (r (x,u) qiymatlarni kabo’l k^luvchi funktsiyalarni mumkin bo’lgan funktsiyalar deb ataymiz.
D sohada garmonik uzluksiz D U S va

chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi funktsiyani topish to’g’risidagi Dirixle masalasi bilan mumkin bo’lgan funktsiyalar orasidan (81) Dirixle integraliga minimum qiymat beruvchi funktsiyani izlash haqidagi birinchi variatsion masala o’rtasida yaqin bog’lanish mavjud.
Аgar S da berilgan F(x,y) funktsiya shunday bo’lsaki, mumkin bo’lgan funktsiyalar sinfi bo’sh bo’lmasa, u xolda Dirixle masalasi va birinchi variatsion masala ekvivalent bo’ladi
Bu fikrning to’g’riligini ayrim qo’shimcha farazlar bajarilganda ko’rsatamiz. u(x,y) — birinchi variatsion masalaning yechimi bo’lsin. Mumkin bo’lgan funktsiyalar sinf ini u(x,y) + ye h(x,y) ko’rinishda tasvirlaymiz, bunda
£ — ixtiyoriy o’zgarmas, h(x,y) esa

shartni qanoatlantiruvchi mumkin bo’lgan funktsiyalarsinfidan ixtiyoriy funktsiya. Ravshanki,
(15)
Bu yerda

tenglikning chap tomonini vaqtincha e ning funktsiyasi sifatida G(e) orqali belgilasak, u(x,y) — minimizatsiyalovchi funktsiya, e — ixtiyoriy o’zgarmas bo’lgani uchun e = 0 da G(e) minimumga ega bo’ladi, u holda G'(0) = 0 bo’ladi, yaʼni

funktsiyalarni va 5 konturni shunday sillik, deb hisoblaymizki, bo’lar uchun quyidagi ayniyatlar urinli bo’lsin:
, (16)
(17)
bunda n — S ga o’tkazilgan tashqi normal. (14 ) va (16) ga asosan, (17) dan

tenglik kelib chiqishi. Bundan, O da D ni uzluksiz funksiya deb hisoblab, h ning ixtiyoriyligidan D= 0 ga ega bo’lamiz.
Demak, qabul qilingan farazlarga asosan , birinchi variatsion masalaning yechimi Dirixle masalasining yechimi bo’ladi
Endi u(x,y) funktsiya Laplas tenglamasi uchun chegaraviy shartlari (13) bo’lgan Dirixle masalasining yechimi, u(x,y) + e(x,y) esa xuddi yukoridagiday, mumkin bo’lgan funktsiyalar sinfi bo’lib, shu bilan birga u(x,y) va h(x,y) funktsiyalar uchun (17) formula o’rinli bo’lsin.
Bu formuladan (14) ga asosan va u(x,y) ning garmonik funktsiya bo’lganligi uchun (16) tenglik kelib chiqdi. Shuning uchun ham (15) dan

tengsizlikka ega bo’lamiz, bu esa u(x,y) funktsiya Dirixle integralini minimizatsiya qilishini, yaʼni birinchi variatsion masalaning yechimi ekanligini bildiradi.
Dirixle integrali uchun variatsion masalalarga ekvivalent bo’lgan Laplas tenglamasi uchun boshqa chegaraviy masalalar ham mavjud. Bo’lar orasida, masalan, Neyman masalasi Laplas tenglamasi uchun chegaraviy masalalarni Dirixle integrali uchun ekvivalent variatsion masalalarga keltirish goyasi Rimanga tegishlidir. Bu goyani D irixle printsipi deb atash kabo’l k,ilingan.
2. Xos qiymatlar to’g’risidagi masalasi

tenglamaning xos sonlari va xos funktsiyalarini aniqlash talab qilinadi, yaʼni y ning shunday qiymatlarini topish kerakki, bularda tenglama D sohada bir jinsli

chegaraviy shartni sanoatlantiruvchi trivial bo’lmagan yechimlarga ega bo’lsin va bu yechimlar tuzilsin.
masalaning eng kichik xos soni quyidagi ikkinchi variatsion masalani yechish natijasida hosil qilinadi: shartni qanoatlantiruvchi mumkin bo’lgan funksiyalar orasidan shunisi topilsinki, buning uchun

funksiya eng kichik qiymatni qabul qilsin, bu yerda

Haqiqatan ham, u(x,y) — ikkinchi variatsion masalaning yechimi bo’lsin, shu bilan birga J(u) ning eng kichik qiymati Bo’lsin.
Mumkin bo’lgan u(x,y) + h(x,y) funksiyalar sinfi uchun, bu yerda £ — ixtiyoriy o’zgarmas, h(x,y) esa shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy mumkin bo’lgan funksiya

tengsizlikka ega bo’lamiz, bu yerda

F(e) funksiya ye = 0 bo’lganda minimumga ega bo’lgani uchun

Bundan (89) asosan, bo’lgani uchun

tenglikni xosil qilamiz.
u(x,y), h(x,y) funksiyalar va D sohaning chegarasining formulalarni qo’llash imkoniyatini beradi deb faraz qilamiz. U xolda

S da h nolga teng bo’lgani sababli

Bu tenglikdan, h(x,y) ixtiyoriy bo’lganligi uchun ekanligi kelib chiqadi, ya’ni u(x,y) funksiya tenglamani qanoatlantiradi.
Agar Dirixle integrali urniga ushbu

kvadratik funksionalni qaralsa ham yuk,orida aytilganlar uz kuchini saqlab koladi.
Integral ostidagi ifoda koeffitsiyentlari yetarli sillik, bo’lgan, ushbu

shartni qanoatlantiruvchi kvadratik formadan iborat, bunda II — xaqiqiy o’zgarmas.
E(u) funksional uchun Eyler tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Yoki

Bunda

3. Minimizatsiyalovchi ketma-ketliklar. Agar mumkin bo’lgan {u} funksiyalar sinfi bo’sh bo’lmasa, D(u) Dirixle integrali qiymatlarining tuplami d quyi chegaraga ega bo’ladi.
Mumkin bo’lgan funksiya bu chegaraga erishadimi yoki erishmaydimi biz buni bilmasak x,am, am m o bir narsa aniq,: mumkin bo’lgan funksiyalarning shunday ip, n = 1, 2, ... ketma-ketligi mavjudki, bu ketma-ketlik uchun

bo’ladi
tenglik urinli bo’lgan , ketma-ketlik minimizatsiyalovchi ketma-ketlik deyiladi.
Xuddi shuni J(u) funksiya to’g’risida ham aytish mumkin.
Minimizatsiyalovchi ketma-ketlikning mavjudligi hali tekshirilayotgan variatsion masala yechimining mavjudligini bildirmaydi.
Keyinchalik quyidagi savollarga javob topish kerak:
1) minimizatsiyalovchi ketma-ketlikni k;anday tuzish kerak;
2) u yaqinlashadimi;
3) uning limiti mumkin bo’lgan funksiya bo’ladimi ?
Bu masalalarni batafsil tekshirish uchun elementlari minimizatsiyalovchi ketma-ketlikning hadlaridan iborat bo’lgan ayrim funksional fazolarni kiritish talab k,ilinadi. Bu fazolar ulchovida minimizatsiyalovchi ketma-ketlik yak,inlashishi ko’rsatilgandan sung, x;osil k,ilingan limit yoki yuk,orida kuyilishdagi variatsion masalaning yechimi ekanligini ko’rsatish kerak yoki yechimning uzi tushunchasini ok,ilona umumlashtirish kerak. Shu bilan birga variatsion masalaning yechimi chegaraviy masalaning yoki oddiy ma’nodagi, yoki ma’lum umumlashgan ma’nodagi yechimi ekanligini ko’rsatish zarur.
Biz bu masalalarning yechilishiga tuxtalmaymiz. Variatsion hisobda minimizatsiyalovchi ketm a-ketliklarni tuzish ning turli usullari bor. Bu usullar xususiy hosilali tenglamalar masalalariga moslab qo’llanilgan.
Ularni variatsion yoki to’g’ri usullar deb atash k,abo’l kilingan. Eng mu\imi, ayrim variatsion usullar teksh irilayotgan masalalarning takribiy yechimlarini tuzish imkonini beradi. Shunday usullarning ikkitasi to’g’risida quyida tuxtalamiz.
4. Rits usuli to’g’risida tushuncha. Bu usulning mohiyati quyidagidan iborat. F(u) funksionalni minimizatsiyalash haqida masala kurilayotgan bo’lsin. Ф(и) funksional uchun mumkin bo’lgan funksiyalarning tula sistemasini orqali belgilab olamiz va ketma-ketlikni tuzamiz, bu yerda - xozircha noma’ lum o’zgarmaslar.
Funksionallarning ayrim sinflari uchun Rits shu narsa-ni ko’rsatishga muvaffaq, bo’lganki, {mya} minimizatsiyalovchi ketma-ketlik bo’lib, yaqinlashuvchi bo’ladi va uning limiti tekshirilayotgan masalani yechadi.
Masalan, D sox,a 0 < x < l, 0 < u < l kvadratdan iborat bo’lgan holda J(u) funksionalni minimizatsiyalovchi i kkinchi variatsion masalani teksh iramiz.

Deb hisoblaymiz
Yuqorida ko’rsatilgan tula sistem a uchun ushbu

funksiyalar sistemasini olishimiz mumkin.

Bo’lsin
funksiyalar ravshanki shartni qanoatlantiradi. Bundan tashqari

Rits sistemasiga binoan, asosan

shart bajarilganda ifodaning minimumini topishimiz kerak.
, shartli ekstremum masalani yechib, ixtiyoriy t va p lar uchun si dan tashkari barcha si larning nolga tengligini shu bilan birga

ekanligin topamiz. Shunday qilib

XULOSA

Hozirgi kunda ilmiy-texnikaviy taraqqiyot ishlab chiqarishning ko‘p sonli tarmoqlari bilan bir qatorda madaniyat sohasiga, ijtimoiy-gumanitar bilimlar doirasiga ham pedagogik texnologiyalarni chuqur tatbiq etishni taqozo etmoqda. Shuning uchun oliy ta’lim muassasalarida matematikani o‘rganishda zamonaviy o‘qitish metodlari bo‘lmish ilg‘or pedagogik texnologiyalardan foydalanish, interfaol metodlarning o‘rni beqiyos ekanligini tadqiqotlar asosida tajribalarimizda isbotlab, natijalarini yoritdik. Turli mavzulardagi dars ishlanmalarini namuna sifatida keltirdik. Barkamol avlodni tarbiyalash O‘zbekiston taraqqiyotini asosi bo‘lib davlat siyosatining ustuvor vazifasiga aylandi. Ko‘pincha o‘quvchilar u yoki bu ko‘rinishdagi tanglama va tengsizliklarni yechimlarini topish to‘g‘risida umumiy tushunchaga ega bo‘lsalarda, ammo yechimning geometrik ko‘rinishi (ya’ni grafigi) to‘g‘risida deyarli tasavvurga ega bo‘lmaydilar, ular faqat yechimning analitik yozuvidan foydalanadilar.
Ushbu kurs ishida matematik fizik masalalarni variatsion yechish ususllari bilan, uning afzalliklarini ko’rib chiqdik. Ushbu usullar hozirgi zamonaviy olamda ko’plab muammolarni yechishimizda katta yechim bo’ladi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

1. 
   M Salohiddinov “Matematik fizik masalalar”
   
2. 
   O.S. Zikirov matematik fizik tenglamalar
   
3. 
   https://fayllar.org/ sayti