O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi m. M. Nishonova elektronikaning fizik asoslari o‘quv qo

3-rasm. Bir o‘lchovli kristall uchun Brillyuen zonasi.
3-rasmda bir o‘lchovli kristall uchun Brillyuen zonasi keltirilgan. Haqiqatan ham elektronlar to‘lqin xossasiga ega bo‘lib, ularni kristalldagi harakatini elektronlar to‘lqinining tarqalishi deb qarash mumkin.
Shunday qilib, kristallarda elektronlar energetik zonalar bo‘ylab taqsimlangan bo‘ladi.
Elektronlar kristallda past energetik zonadan boshlab yuqori zonalarga qarab to‘lib boradi.
Zonalardagi elektronlarning taqsimlanishi va man qilingan zonalarning kengligiga qarab qattiq jismlar: o‘tkazgich, yarim o‘tkazgich va izolyatorlik xossalariga ega bo‘ladi.

1.2. Kronig-Penni modeli. Brillyuen zonalari

Elektron davriy elektrik maydonda harakat qilganda, uning elektrik spektri qanday bo‘lishligini yaqqol ko‘rsatadigan sodda modellardan biri Kronig-Penni modelidir. U atomlarning bir chiziq bo‘ylab davriy joylashgan holiga mos bo‘lib, bunda, masalani soddalashtirish maqsadida mazkur yo‘nalishda elektron uchun navbatlashuvchi (davriy) to‘g‘ri burchakli potensial to‘g‘ri chiziqlar mavjud deb faraz qilinadi. To‘siqning kengligi a, atomning elektron uchun hosil qilgan potensial chuqurlikning kengligi b va to‘siqning balandligi bo‘lsin (4-rasm). Bu holda kristal panjarasining doimiysi c=a+b bo‘ladi.

4- rasm. To‘g’ri burchakli potensial to‘siq.
Elektronning bunday davriy maydondagi ye energiyasi to‘siqning balandligidan kichik deb hisoblanadi. Shuni ta’kidlashimiz lozimki, kvant mexanikasiga asosan, elektron bu potensial to‘siqlar ustidan o‘tishga energiyasi yetarli bo‘lmasada, to‘siqlar devoridan tunnel o‘tish (tirqish) yo‘li bilan o‘tib keta olishi mumkin va shu yo‘sinda bu bir o‘lchovli kristal bo‘ylab harakatlana oladi. Bu holda elektron uchun Shredinger tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
(1.4)

(1.4) tenglama potensial chuqur va potensial to‘siq sohalari uchun, mos ravishda, quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
(1.5)
(1.6)
Bularda,
(1.7)
Potensial chuqur sohasi 0 (1.8)
Potensial to‘siq sohasi –b (1.9)
ko‘rinishlarda bo‘ladi. Kristall panjarasi davriyligidan Blox funksiyasi uchun:
(1.10)
munosabat o‘rinli, bunda ϕ=kc. Endi (1.9) yechimni (1.10) dan foydalanib, a (1.11)
ko‘rinishda yoza olamiz.
Olingan yechimlar sohalar chegaralarida uzluksiz bo‘lishligi, ya‘ni bu chegaralarda (x) va (x) to‘lqin funksiyalari hamda ularning hosilalari o‘zaro teng bo‘lishligi zarur.

(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.13) -(1.15) tenglamalar sistemasi A,B,C,D doimiylarni aniqlash imkonini beradi. Bu sistema bir jinsli tenglamalar sistemasi bo‘lib, uning ma’noli yechimga ega bo‘lishi uchun ushbu tenglamalardagi A,B,C,D lar oldidagi ko‘paytuvchilardan tuzilgan aniqlovchi (determinant) nolga teng bo‘lishi kerak, ya’ni:
(1.16)
Bu aniqlovchini ochib chiqilganda
(1.17)
tenglama kelib chiqadi.
Bu ifodadagi k va ϴ kattaliklar elektronning E energiyasi orqali ifodalanganligi tufayli ϕ ga turli qiymatlar berib, E(ϕ) funksiyani, ya’ni elektron energiyalari spektrini aniqlash mumkin. Ammo (1.17) tenglamani yechish murakkab, u taqribiy hisoblashni talab qiladi. Lekin ayrim chegaraviy hollarda juda yaqqol natijalar olish mumkin. Bu holda potensial to‘siq kengligi b ni nolga (b->0) va uning balandligi ni cheksizga ( ) intiltiramiz, ammo, b ko‘paytma chekli doimiy kattalik bo‘lib qoladi deb hisoblaymiz, ya’ni
(1.18)
(1.19)
Bu holda, (1.17) tenglama sodda ko‘rinishga keladi:
(1.20)
Quyidagi rasmda (1.20) tenglama yechimi grafik usulda tasvirlangan.