O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug’bek nomidagi o’zbekiston milliy universiteti fakulteti

I –bob bo’yicha xulosa.

Bu bobda xarakteristik funksiya va hosil qilish funksiyalarining ahamiyati o’rganilgan. Xarakteristik funksiyaning ta’rif va xossalari keltirilgan . Hosil qilish funksiyasi ahamiyati, taqbiqlari va qo’llanilishi haqida ma’lumotlar o’rganilgan. Hosil qiluvchi funksiyaning ta’rifi va xossalaridan ko‘rinadiki, ketma-ketliklar bilan bog‘liq bo‘lgan xilma-xil masalalarni o‘rganish va ularni hal qilishda bu funksiyalardan foydalanish mumkin. Bu o‘rinda, ayniqsa, kombinatorik amallar bilan bog‘liq ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalari alohida qiziqish uyg‘otishini ta’kidlangan. Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqini ko‘rsatish maqsadida bir nechta misollar qaralgan.

II-bob. TARMOQLANUVCHI TASODIFIY JARAYONLAR

2.1 Galton-Vatson tarmoqlanuvchi tasodifiy jarayonlari

Ehtimolliklar nazariyasining ko‘plab tatbiqlari ichida, zarralarning biror tasodifiy qonuniyatga ko‘ra ko‘payishi, yoki boshqa zarralarga aylinishini ifodalovchi jarayonlar muhim o‘rin tutadi. Agar ushbu jarayonlarda har bir zarraning o‘zgarishi boshqa zarralarga bog‘liq bo‘lmasa, bunday jarayonlar tarmoqlanuvchi jarayonlar yordamida o‘rganiladi. Masalan Tarmoqlanuvchi jarayonlar nazariyasida kimyoviy, yadroviy va shu kabi boshqa reaksiyalardagi populyatsiyalarning rivojlanish jarayonining sodda matematik modeli o’rganiladi. Tarmoqlanuvchi jarayonlarga olib keladigan masalalar dastlab, XIX asrning so‘nggi choragida angliyalik olimlar Galton va Vatsonlar tomonidan o‘rganilgan. Ma’lumki, tarixda yuqori mavqega ega bo‘lgan shaxslarning familiyalarining yo‘qolib ketishi, bir necha bor qayd etilgan haqiqatdir. Frensis Galton keng tarqalgan familiyalarni keyinchalik noyob bo‘lib qolishi yoki hatto butunlay yo‘qolib ketishiga e’tibor qaratdi va familiyaning yo‘qolishi ehtimolligi degan tushunchani olib uni o‘rganishga kirishdi. Keyinchalik ushbu masala qaysidir ma’noda Vatson tomonidan o‘z yechimini topdi.
tarmoqlanuvchi jarayonning momentdagi holatini avloddagi zarrachalar soni deb talqin qilinadi. Keyingi avlodga o’tishida har bir zarracha tasodifiy sondagi keying avlod zarrachalarini vujudga keltirib, o’zi yo’q bo’lib ketadi , turli zarrachalarning avlodlar soni o’zaro bog’liqsiz deb faraz qilinadi.
Tarmoqlanuvchi jarayonni formal ravishda ta’riflash uchun, 0,1,2,… qiymatlarni qabul qiluvchi bog’liqsiz bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlarning cheksiz to’plami mavjud deb faraz qilamiz ( - avloddagi - zarrachaning qoldirgan nasllari soni). Jarayonning qiymatlari ushbu

rekurrent munosabatlar orqali ifodalanadi.
Bunday tariflangan tasodifiy jarayon Markov zanjiridan iborat bo’ladi, chunki vaqtning ixtiyoriy momentida jarayonning qiymati aniqlangan bo’lsa, uning keying holatlari tasodifiy miqdorlar orqali aniqlanadi, ular esa avvalgi holatlarga bog’liq emsa. Tarmoqlanuvchi jarayonlarning holatlar to’plami - manfiy bo’lmagan butun sonlar to’plamidan iborat, shuning uchun ham tarmoqlanuvchi jarayon sanoqli holatli Markov zanjiridan iborat. 0 holat yutib qoluvchi holat, agar jarayon 0 holatga tushsa, u yo’q bo’lib ketgan deyiladi.
Biologik va shuningdek fizik qo’llanishlar nuqtayi nazaridan quyidagi ikkita savol eng ko’p qiziqish uyg’otadi: qanday shart bajarilsa jarayonning yo’q bo’lib ketish ehtimoli birga teng va qandat shart bajarilganda jarayon musbat ehtimol bilan yo’q bo’lib ketmaydi?
Tarmoqlanuvchi jarayonlarning xossalarini o’rnatishda hosil qiluvchi funksiyalardan foydalanish maqsadga muvofiq bo’ladi. - tarmoqlanuvchi jarayondagi bitta zarrachaning nasllar soni bilan bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdor bo’lsin. quyidagi hosil qiluvchi funksiyalarni kiritamiz:

.
Teorema 2.1.1. [15] hosil qiluvchi funksiyalar ketma-ketligi
,
rekurrent munosabatni qanoatlantiradi. Agar bo’lsa, u holda
,
tenglik orinli.
Galton-Vatson jarayoni ning hosil qiluvchi funksiyasi uchun
Quyidagi rekurent formulani isbotlaylik.
Isbot: n=1,2 … lar uchun

Xozir.


lar bog’liqsiz birxil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar va larning hosil qiluvchi funksiyasi, bundan larning hosil qiluvchi funksiyasi ga teng.
Demak quyidagi natijaga ega bo’lamiz