O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug’bek nomidagi o’zbekiston milliy universiteti fakulteti

Teorema 1.1.4. [17](to’g’ri limit teorema). Agar taqsimot funksiyalar ketma-ketligi biror taqsimot funksiyaga sust yaqinlashsa, ularga mos xarakteristik funksiyalar ketma-ketligi xarakteristik funksiyaga ning har bir chekli oralig’ida tekis yaqinlashadi.
Teorema 1.1.5. [17](teskari limit teorema). Agar xarakteristik funksiyalar ketma-ketligi uzluksiz bo’lgan biror funksiyaga intilsa, bu xarakteristik funksiyalarga mos taqssimot funksiyalar ketma-ketligi taqsimot funksiyaga sust yaqinlashadi va

bo’ladi.

1.2. Hosil qilish funksiyalar va ularning xossalari.

Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi. Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi uchun zarur bo‘lgan ayrim tushunchalarni matematik analiz kursidan keltiramiz. Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin:

Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan

ifoda sonli cheksiz qator yoki, qisqacha, qator deb, chekli sonlar esa qatorning hadlari deb ataladi. yig‘indiga qatorning xususiy yig‘indisi deyiladi.
Agar qatorning xususiy yig‘indilaridan tuzilgan ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi va bu limitning qiymati yaqinlashuvchi qator yig‘indisi deb ataladi.
Agar xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda qator uzoqlashuvchi deyiladi.
Yuqorida keltirilgan sonli cheksiz qator tushunchasida qatorning hadlari sonlar emas, balki qandaydir o‘zgaruvchiga bog‘liq chekli qiymatlar qabul qiluvchi funksiyalardan iborat bo‘lsa, u holda bu funksiyalarning cheksiz yig‘indisini ifodalovchi

funksional qator tushunchasiga ega bo‘lamiz.
Amaliy masalalarni hal qilishda funksional qatorlar sinfiga tegishli bo‘lgan darajali qatorlar muhim ahamiyatga ega. Darajali qator

ko‘rinishga ega bo‘lgan funksional qatordan iboratdir, bu yerda berilgan chekli o‘zgarmas koeffitsientlarni, x esa qator o‘zgaruvchisini ifodalaydi.
Agar darajali qator vositasida chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligiga haqiqiy yoki kompleks o‘zgaruvchili qandaydir funksiya mos qo‘yilishi mumkin bo‘lsa, u holda ketma-ketliklar ustida bajariladigan ba’zi amallarni ularga mos funksiyalar ustida bajarish imkoniyati paydo bo‘ladi.
Darajali qator yig‘indisini ifodalovchi

funksiya ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi deb ataladi. Bu yerda funksiyani aniqlovchi qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun o‘zgaruvchining haqiqiy yoki kompleks qiymatli bo‘lishi muhim ahamiyatga ega emas.
Misol 1.2.1. Hadlari faqat birlardan iborat bo‘lgan sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasi ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, sonlar ketma-ketligiga darajali qator mos keladi va bu darajali qatorning hadlari maxraji ga teng bo‘lgan ko‘rinishdagi geometrik progressiyadan iboratdir. Elementar matematika kursidan ma’lumki, bu progressiya bo‘lganda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya bo‘ladi va uning barcha hadlari yig‘indisi

formula bilan ifodalanadi.
Misol 1.2.2. 1.1.1. misoldagidek mulohaza yuritib har qanday chekli songa mos keluvchi sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasi ko‘rinishda bo‘lishini aniqlash mumkin.