O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug’bek nomidagi o’zbekiston milliy universiteti fakulteti

Misol 1.1.5. parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi topilsin.
Malumki, va tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi


Xarakteristik funksiya logarifmi hosilasi yordamida matematik kutilma va dispersiyani ifodalash mumkin.
deb olamiz.
va
ekanligini hisobga olsak, va

demak, va
Xarakteristik funksiya logarifmining tartibli hosilasining nol nuqtadagi qiymatining ga ko’paytirilganiga tasodifiy miqdorning tartibli etti invarianti deyiladi.
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini bilgan holda uning xarakteristik funksiyasini topish mumkinligini bilamiz. Teskari tadqiq ham o’rinli.
Teorema 1.1.2. [17] Agar va lar mos ravishda tasodifiy miqdorning xarakteristik va taqsimot funksiyalari bo’lsalar, hamda va lar taqsimot funksiyaning uzluksizlik nuqtalari bo’lsalar, u holda
(1.1.5)
o’rinli bo’ladi.
Teoremani isbotlash sxemasini keltiramiz.
Xarakteristik funksiya ta’rifi va kompleks o’zgaruvchining funksiyalari nazariyasidan olgan bilimlarimiz asosida


(1.1.6)
ga ega bo’lamiz.
Matematik analiz kursidan ma’lumki
(1.1.7)
deb olib integralni
(1.1.8)
ko’rinishda yozib olamiz, bu yerda
va
da limitga o’tib, (1.1.7) va taqsimot funksiyaning xossalaridan foydalanib, teorema isbotiga ega bo’lamiz.
(1.1.5) formulaga teskarilash formulasi deyiladi.
Bu formuladan quyidagi yagonalik teoremasi kelib chiqadi.
Teorema 1.1.3. [17] Taqsimoq funksiya o’z xarakteristik funksiyasi bilan bir qiymatli aniqlanadi.
Haqiqatan, ham (1.1.5) formuladan funksiyaning uzluksizlik nuqtalarida

bo’ladi.
Endi biz markaziy limit teoremalarni isbotlashda muhim o’rin tutadigan uzluksiz moslik haqidagi teoremalarni keltiramiz:
Ta’rif 1.1.2. taqsimot funksiyalar ketma-ketligi, lar taqsimot funksiyalar va uzluksiz, chegaralangan funksiya bo’lsin, agar

bo’lsa, taqsimot funksiyalar ketma-ketligi taqsimot funksiyaga sust yaqinlashadi deyiladi.