O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi o‘zbekiston milliy universiteti matematika fakulteti

Ta'rif 2.1.1. Har bir nuqtada bir juft natural sonlarni - tegishli xos qiymatning soni va ko'paytmasini belgilaymiz. Agar bo'lsa, nuqta oddiy, aks holda ko'p nuqta deb ataladi.
sonining barcha nuqtalari to‘plamini va ko‘paytmasini belgilaymiz. ko’pxillik nuqtalarining soni va ko'pligi bilan tabaqalanadi:

nuqta bilan tangens fazoning maxsus parchalanishini bog'laymiz. -chi xos qiymatga mos keluvchi operatorining to‘g‘ri m o‘lchamli pastki fazosi, esa ning ortogonal to‘ldiruvchisi bo‘lsin. Bundan ga ega bo’lamiz. Bu yerda . va - ga mos keladigan operatorining normallashtirilgan xos vektorlarining sferasiga teginish fazosi ekanligi aniq, bu -chi xos qiymatga mos keladi. Biz yozuvidan foydalanamiz, bu yerda .
kichik to‘plamlar uchun silliq strukturaning mavjudligini aniqlaymiz, shuningdek ko’pxilliklar orasidagi bog‘lanish va proyeksiya ni o‘rganamiz.
2.1.2 teorema. Quyidagi da'volar o’rinli.
1) nuqtada kollektorga teginish fazosi quyidagicha aniqlanadi:

2) barcha kichik to‘plamlar kichik ko’pxilliklardir. nuqtada qism ko’pxillikka teguvchi fazo quyidagicha aniqlanadi:

3) ko’pxillikdagi qism ko’pxilligining qism fazo o‘lchami quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:
.
4) Siqilish

ning qism ko’pxilligiga proyeksiyasi lokal trivial to‘plamdir; uning tolasi nuqta ustidagi -katta -xos qiymatga mos keladigan operatorining normallashtirilgan xos vektorlarining shari.
5) Proyeksiya operatori hosilasining yadrosi _(A,u) normallashtirilgan xos vektorlarining ko‘rsatilgan sferasiga nuqtadagi tangens fazosiga to‘g‘ri keladi.
6) jufti hosila operator yadrosining o‘lchami bo‘lgan taqdirdagina ko‘plikka ega bo‘ladi.

7) Oddiy nuqta qo‘shnisida proyeksiyasi proyeksiyasiga to‘g‘ri keladi va lokal diffeomorfizmdir. nuqtalari ga tegishli.
Isbot. Buni isbotlash uchun to'g'rilash diffeomorfizmini qo'llaymiz, uning ta'rifi va xossalari chekli o'lchovli holatda sodda operatorlardagi kabi bir xil bo'lib qoladi.
1. (2.1.2) ta'rifdagi xos qiymatni normallashtirish sharti yordamida aniqlovchi ko’pxilligi uchun quyidagi tenglamani olamiz

Sferaga teguvchi fazoning ta’rifini hisobga olib, uni chiziqli qilib tangens fazo tenglamasini olamiz.

Hosil bo‘lgan tenglamani blok ko‘rinishda yozib, ni belgilab, teoremaning birinchi tasdiqini olamiz.
2.
to‘plamining lokal parametrlanishidir. Endi ni o'rnatish ekanligini ko'rsatamiz. Buning uchun biz uning hosila operatorini topamiz:


Endi bundan ushbu ifoda faqat bo‘lgandagina o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun, o’rnatish bo’ladi. Bundan tashqari, operatorning blok yozuvi, operatorning inversiyasi va tangens fazoning o'rnatilishidan biz kerakli parametrni olamiz.
3. Istalgan qism fazo o'lchovi vektor u bo'lgan dagi bunday o'z-o'ziga qo'shma operatorlar fazosidagi skalyar operatorlar pastki fazosining qism fazo o’lchamiga teng. xos vektor hisoblanadi. Biz o‘lchamdagi skalyar matritsa uchun shartlarni va yana bittasini olamiz. (2.1.4) topshiriqdan raqami bilan belgilangan skalyar uchun shart; jami shartlar.
4. Shubhasiz, proyeksiyasi qoplama va

bu yerda - -katta -chi xos qiymatga mos keladigan normalangan xos vektorlar sferasi. 2) bandning isbotidan kelib chiqadiki, to‘plam asosining nuqtasining qo‘shniligidagi to‘plamning lokal trivializatsiyasidir.
5. bo‘ylab proyeksiya bo‘lgani uchun

Ammo tangens fazoning tayinlanishidan (2.1.4) bo'lishi bilan bo'ladi.
6, 7. Ta'kidlar darhol 3) va 5) bo'limlardan kelib chiqadi
2.1.2 teorema, xususan, quyidagi tasdiqni nazarda tutadi.