O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi Sh. Q. Farmonov, R. M. Тurgunbayev

§. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar  
 
 
(
)
, , P
Ω F
 ehtimollik fazosida 
1
2
, , ...,
n
ξ ξ
ξ
  tasodifiy miqdorlarni qaraymiz. 
Har bir 
ω
∈Ω  ga bu tasodifiy miqdorlar n-o‘lchovli vektor 
( )
( ) ( )
( )
(
)
1
2
,
,...,
n
ξ ω
ξ ω ξ ω
ξ ω
=
 ni mos qo‘yadi. 
1
2
, , ...,
n
ξ ξ
ξ
 tasodifiy miqdorlar 
orqali berilgan 
n
Ω →
R
 akslantirish tasodifiy vektor yoki ko‘p o‘lchovli tasodifiy 
miqdor deyiladi. 
 
n
R
Ω →
 akslantirishni 
(
)
,
Ω F  ni 
(
)
,
n
n
R B
 fazoga o‘lchovli akslantirish 
sifatida qarash mumkin, bu yerda  
n
B
 – 
n
R
 dagi Borel to‘plamlari 
σ
-algebrasi. 
Shuning uchun iхtiyoriy Borel to‘plami B uchun 
ξ
  vektorning taqsimoti deb 
ataluvchi ( )
(
)
P B
P
B
ξ
ξ
=
∈
 funksiya aniqlangan. 
 
1
,...,
1
1
( ,..., )
(
,...,
)
n
n
n
n
F
x
x
P
x
x
ξ
ξ
ξ
ξ
=
<
<
 funksiya 
1
2
, ,...,
n
ξ ξ
ξ
 tasodifiy 
miqdorning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deb ataladi. 
 Тasodifiy vektor taqsimot funksiyasining ba’zi хossalarini keltiramiz: 
 
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
,...,
1
,...,
1
1
,...,
1
1. lim
,...,
,...,
.
2. lim
,...,
0.
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
FF
F
x
x
F
x
x
FF
F
x
x
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
−
−
→∞
→−∞
=
=
 
 Limitlar  oхirgi argument bo‘yicha olinganligi katta ahamiyatga ega emas, 
chunki tasodifiy miqdorlarni har doim qayta nomerlash mumkin.   
 
1
,...,
1
( ,..., )
n
n
F
x
x
ξ
ξ
  taqsimot funksiyasi  ( )
P B
ξ
 taqsimotni bir qiymatli 
aniqlashini ko‘rish qiyin emas. 
 Хuddi bir o‘lchovli holga o‘хshab, agar tasodifiy vektor komponentalari 
ko‘pi bilan sanoqli sondagi qiymatlarni qabul qilsa, u holda tasodifiy vektorlarning 
taqsimoti diskret tipga tegishli deymiz.  
Agarda  iхtiyoriy 
n
B
⊂ R
 Borel to‘plami uchun 
( )
(
)
( )
B
P B
P
B
f x dx
ξ
ξ
=
∈
=
∫
 

 75
bo‘lsa, bu yerda 
( )
( )
0,
1
n
f x
f x dx
≥
=
∫
R
, u holda tasodifiy vektorlarning taqsimoti 
absolyut uzluksiz tipga tegishli deymiz. 
Bu ta’rifni unga ekvivalent bo‘lgan  
(
)
(
)
1
1
,...,
1
1
1
,...,
...
,...,
...
n
n
x
x
n
n
n
F
x
x
f t
t dt dt
ξ
ξ
−∞
−∞
=
∫ ∫
 
ko‘rinishga almashtirish mumkin. 
 Yuqoridagi 
( )
f x  funksiya 
ξ
 taqsimotning zichligi (zichlik funksiyasi) yoki 
1
2
, ,...,
n
ξ ξ
ξ
  birgalikdagi taqsimotining zichligi deyiladi. Uning uchun deyarli 
hamma yerda 
(
)
(
)
1
,...,
1
1
1
,...,
,...,
...
n
n
n
n
n
F
x
x
f x
x
x
x
ξ
ξ
∂
=
∂
∂
 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
 Ehtimolliklar  nazariyasining  muhim tushunchasi bo‘lgan hodisalarning 
bog‘liqsizligi o‘z ma’nosini tasodifiy miqdorlar uchun ham saqlab qoladi. 
Hodisalar bog‘liqsizligiga mos ravishda quyidagini aytish mumkin: Agarda to‘g‘ri 
chiziqdagi iхtiyoriy 
1
,...,
n
B
B  Borel to‘plamlari uchun  
(
)
(
) (
)
(
)
1
1
1
2
2
,...,
...
n
n
n
n
P
B
B
P
B
P
B
P
B
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
∈
∈
=
∈
⋅
∈
∈
 
tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz deyiladi. 
 Buni taqsimot funksiyalari tilida quyidagicha aytish mumkin: 
1
2
, ,...,
n
ξ ξ
ξ
 tasodifiy miqdorlar bog‘liqsiz bo‘lishi uhun ixtiyoriy x
i
 larda  
(
)
( )
( )
1
1
,...,
1
1
,...,
...
n
n
n
n
F
x
x
F x
F x
ξ
ξ
ξ
ξ
=
 
tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli. Bu yerda 
( )
i
i
F x
ξ
 – 
i
ξ
 tasodifiy miqdorning 
taqsimot funksiyasidir. 
 Agar 
1
2
, ,...,
n
ξ ξ
ξ
 bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar mos ravishda 
1
( ),
f x  
2
( ),
f x  
..., ( )
n
f x  taqsimot zichliklariga ega bo‘lsalar, u holda n o‘lchovli 
(
)
1
2
, ,...,
n
ξ
ξ ξ
ξ
=
 
tasodifiy miqdor  
(
)
( ) ( )
( )
1
2
1
1
2
2
, ,...,
...
n
n
n
f x x
x
f x
f x
f x
=
⋅
⋅ ⋅
 ko‘paytma bilan 
ifodalanadigan taqsimot zichligiga ega bo‘ladi. 

 76
 Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning taqsimotlariga misollar keltiramiz. 
1-misol
. 
Polinomial taqsimot
.
 Agar 
ξ
 
m
-o‘lchovli diskret tasodifiy vektor 
uchun  
(
)
1
2
1
2
, ,...,
,
,
...
m
i
m
k
k k
k
k
Z k
k
k
n
=
∈
+
+ +
=  bo‘lib 
{
}
(
)
{
}
(
)
1
2
1
1
1
2
1
2
!
,...,
...
! !... !
m
k
k
k
k
m
m
m
m
n
p
P
k
P
k
k
p p
p
k k
k
ξ
ξ
ξ
=
=
=
=
=
=
,      (1) 
1
2
0,
1,2,..., ;
...
1
i
m
p
i
m p
p
p
>
=
+
+ +
=  bo‘lsa, u holda 
ξ
 vektor 
(
) (
)
1
2
; , ,...,
;
m
n p p
p
n p
=
 parametrli polinomial qonun bo‘yicha taqsimlangan 
tasodifiy vektor va 
(
)
1
2
; , , ,...,
m
k
P k n p p
p
p
=
 ehtimolliklarga 
(
)
1
2
; , ,...,
m
n p p
p  
parametrli  polinomial taqsimot deyiladi. (1) tenglikning o‘ng tomoni 
(
)
1
2
...
n
m
p
p
p
+
+ +
 polinomning 
1
2
,
, ...,
m
p p
p  sonlarning darajalari bo‘yicha 
yoyilmasini umumiy holidan iborat bo‘lgani sababli, yuqoridagi taqsimotni 
polinomial taqsimot deb atalishi tabiiydir. 
Agar 
1
2
2,
,
1
m
p
p p
p
=
=
= −  bo‘lsa, (1) polinomial taqsimot 
(
)
,
n p
-
parametrli binomial taqsimotga aylanadi. 
2-misol
 (
Ko‘p o‘lchovli normal taqsimot)
. 
(
)
1
2
,
,...,
n
m
m m
m
=
 –  -
n o‘lchovli 
vektor va 
ij
R
r
=
 birorta  n n
×  o‘lchovli, musbat aniqlangan, simmetrik matritsa 
bo‘lsin.  R musbat aniqlangan matritsa bo‘lgani uchun, uning teskari matritsasi  
1
ij
R
A
a
−
= =
 mavjud. 
Zichlik funksiyasi 
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
1
2
1/ 2
1
2
, ,...,
1
2
/ 2
, 1
1
, ,...,
, ,...,
exp
2
2
n
n
n
n
ij
i
i
j
j
n
i j
A
x x
x
x x
x
a x
m
x
m
ξ ξ
ξ
ϕ
ϕ
π
=
⎧
⎫
=
=
−
−
−
⎨
⎬
⎩
⎭
∑
 
ko‘rinishga ega bo‘lgan 
(
)
1
2
, ,...,
n
ξ
ξ ξ
ξ
=
 –  -
n o‘lchovli tasodifiy vektor 
(
)
;
m R  
parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy vektor deyiladi. Bu 
yerda 
det
A
A
=
 orqali  A  matritsaning determinanti belgilangan. 
Xususan 2-o‘lchovli va parametrlari 
(
)
,
m R  bo‘lgan normal taqsimotni 
ko‘raylik. Buning uchun 
(
)
1
2
,
m
m m
=
 sonli vektor va   

 77
2
1
1 2
2
1 2
2
r
R
r
σ
σ σ
σ σ
σ
⎛
⎞
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎝
⎠
         
1
1
r
− < <
 
simmetrik va musbat aniqlangan 2x2-o‘lchovli matritsani ko‘ramiz. R matritsani  
determinanti  
(
)
2
2
2
1
2
1
R
r
σ σ
=
−
 
bo‘lgani uchun 
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1 2
1
2
2
2
1 2
2
1
1
1
1
1
1
r
r
r
A R
r
r
r
σ
σ σ
σ σ
σ
−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
⎜
⎟
=
= ⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
 
va A matritsani determinanti 
2
2
2
1
2
1
(1
)
A
r
σ σ
=
−
 
bo‘ladi. Bu holda 
(
)
1 2
1
2
,
х х
ξ ξ
ϕ
 zichlik funksiya  
(
)
(
)
1 2
1
2
1
2
,
,
x x
x x
ξ ξ
ϕ
ϕ
=
=  
(
)
(
)
(
)(
) (
)
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1 2
2
1
1
exp
2 1
2
1
x m
r x m x m
x m
r
r
σ
σ σ
σ
πσ σ
⎧
⎫
⎡
⎤
−
−
−
−
⎪
⎪
=
−
−
+
⎢
⎥
⎨
⎬
−
−
⎢
⎥
⎪
⎪
⎣
⎦
⎩
⎭
 
ko‘rinishga ega bo‘ladi.  
 
2.5-§. Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari 
 
 
Endi boshqa tasodifiy miqdorlarning funksiyalari bo‘lgan tasodifiy 
miqdorning tsqsimot funksiyasini topish masalasini ko‘raylik. 
Mayli, 
( )
(
)
F x
P
x
ξ
ξ
=
<  va 
( )
g x  Borel funksiyasi bo‘lsin. U holda 
( )
g
η
ξ
=
 tasodifiy miqdorni taqsimot funksiyasi quyidagiga teng: 
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
1
,
g
F
x
P g
x
P
g
x
ξ
ξ
ξ
−
=
<
=
∈
−∞
. 

 78
 Agar 
( )
g x  – kamaymaydigan funksiya bo‘lib, uning uchun teskari 
( )
1
g
x
−
 
funksiya aniqlangan bo‘lsa, u holda 
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
1
1
g
F
x
P
g
x
F g
x
ξ
ξ
ξ
−
−
=
<
=
. 
 Xususan, 
agar 
( )
F x
ξ
 uzluksiz bo‘lsa, 
( )
F
ξ
η
ξ
=
 tasodifiy miqdor 
[ ]
0,1  
oraliqda tekis taqsimlangan bo‘ladi. Aksincha, 
η
 tekis taqsimlangan tasodifiy 
miqdor va  F  berilgan taqsimot funksiyasi bo‘lsin. U holda 
( )
1
F
ξ
η
−
=
 tasodifiy 
miqdor 
( )
F x  taqsimot funksiyasiga ega bo‘ladi. 
 
Boshqa xususiy holda, ya’ni 
( )
g x
a bx
= +
, 0
b
>  holatda  
( )
( )
g
x a
F
x
F
b
ξ
ξ
−
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 
bo‘ladi. 
 Agar 
( )
2
g x
x
=  bo‘lsa, 
0
x
<  uchun 
( )
0
F x
η
= , 0
x
≥  uchun esa  
( )
( )
(
)
(
) ( ) ( ) (
)
2
g
F
x
P
x
P
x
x
F
x
F
x
P
x
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
=
<
=
−
< <
=
−
−
−
= −
. 
 Endi 
( )
g
ξ
 tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini topish masalasini 
qaraylik. 
 
Yuqoridagilarga qo‘shimcha ravishda  g  funksiya differensiallanuvchi va 
ξ
 
tasodifiy miqdor 
( )
f x  zichlik funksiyasiga ega bo‘lsin. U holda 
( )
g
ξ
 ning 
quyidagi zichlik funksiyasi mavjud 
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
1
1
1
g
f g
x
f
x
f g
x
g
x
g x
ξ
−
−
−
′
=
=
′
. 
 Misol 
uchun 
( )
g x
a bx
= +
, 0
b
>
 bo‘lganda  
( )
1
a b
x a
f
x
f
b
b
ξ
+
−
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
. 
 
Eslatma
. Agar 
g
 o‘smaydigan funksiya bo‘lsa, u holda  
( )
( )
( )
(
)
( )
1
g
f g
x
f
x
g x
ξ
−
= −
′
. 

 79
 
Endi bir nechta tasodifiy miqdor funksiyalarini qaraymiz. 
 Taqsimot 
funksiyasining ta’rifiga asosan 
(
)
1
2
,
g
ξ ξ
 tasodifiy miqdorning 
taqsimot funksiyasi 
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
{
}
(
)
1
2
1
2
1
2
,
,
:
,
g
F
z
P g
z
P
g
z
ξ ξ
ξ ξ
ω
ξ ω ξ ω
=
<
=
<
. 
 Masalan, 
1
ξ
 va 
2
ξ
 bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar 
1
f
ξ
 va 
2
f
ξ
 zichlik 
funksiyalariga ega bo‘lsa, u holda  
( )
( )
( )
(
)
( )
1
2
1
2
z y
z
F z
f u du f
y dy
f u y du f
y dy
η
ξ
ξ
ξ
ξ
−
∞
∞
−∞ −∞
−∞ −∞
⎡
⎤
⎡
⎤
=
=
−
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
∫ ∫
∫ ∫
 
=
(
) ( )
1
2
z
f u y f
y dy du
ξ
ξ
∞
−∞ −∞
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫ ∫
. 
Oxirgi tenglikni differensiallab,  
( )
(
) ( )
( )
(
) ( )
1
2
2
1
,
f z
f
z y f
y dy
f z
f
z x f
x dx
η
ξ
ξ
η
ξ
ξ
∞
−∞
∞
−∞
=
−
=
−
∫
∫
   
 
 
   (*) 
tengliklarni hosil qilamiz. 
 
1-misol
. Agar 
1
ξ
 va 
2
ξ
 o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan va 
[ ]
0,1  da tekis 
taqsimlangan tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, u holda 
1
2
η ξ ξ
= +
 uchun 
( )
(
) ( )
(
)
( )
1
2
2
2
1
0
1
z
z
f z
f
z x f
x dx
f
z x dx
f
y dy
η
ξ
ξ
ξ
ξ
∞
−∞
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
 
bo‘ladi. 
Aytaylik, 0
1
z
< ≤
 bo‘lsin, u holda 
( )
( )
( )
2
2
0
1
0
z
z
f z
f
y dy
f
y dy z
η
ξ
ξ
−
=
+
=
∫
∫
, 
agar 1
2
z
< ≤  bo‘lsa,  
( )
( )
2
1
1
1
1
2
z
z
f z
f
y dy
dy
z
η
ξ
−
−
=
=
= −
∫
∫
. 
Shunday qilib, 

 80
( )
[ ]
[ ]
[ ]
0,     agar  
0,2 ;
,     agar  
0,1 ;
2
,  agar  
1,2 .
z
f z
z
z
z
z
η
⎧
∉
⎪
=
∈
⎨
⎪ −
∈
⎩
 
 
2-misol. Endi 
1
ξ
 tasodifiy miqdor 
(
)
2
1
1
,
a
σ
 parametrli, 
2
ξ
 tasodifiy miqdor 
(
)
2
2
2
,
a
σ
 parametrli normal qonun bilan taqsimlangan holni ko‘raylik. 
 Agar 
( )
2
2
1
2
x
x
e
ϕ
π
−
=
 
standart normal qonun zichlik funksiyasi bo‘lsa,  
( )
1
1
1
1
1
x a
f
x
ξ
ϕ
σ
σ
⎛
⎞
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
,  
( )
2
2
2
2
1
x a
f
x
ξ
ϕ
σ
σ
⎛
⎞
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 
bo‘ladi va (*) formula yordamida 
( )
(
)
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
x
a
a
f
x
ξ ξ
ϕ
σ
σ
σ
σ
+
⎛
⎞
−
+
⎜
⎟
=
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠
 
topiladi. 
Demak 
(
)
2
1
1
,
a
σ
 va 
(
)
2
2
2
,
a
σ
 parametrli normal qonun bilan taqsimlangan ikkita 
bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar yig‘indisi, 
(
)
2
2
1
2
1
2
,
a
a
σ
σ
+
+
 parametrli normal 
qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdor bo‘lar ekan.