O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi Sh. Q. Farmonov, R. M. Тurgunbayev

 
 
3.2-§. Muavr – Laplas lokal va integral teoremalari 
 
Binomal taqsimot formulasidan ko‘rinadiki, tajribalar soni n yetarlicha katta 
bo‘lganida  
( )
n
P m  ehtimolliklarni hisoblashda qiyinchiliklar yuzaga keladi. 
Shuning uchun ham 
( )
n
P m  ga nisbatan sodda ko‘rinishdagi asimptotik 
formulalarning zaruriyati yuzaga keladi. Bu masalani 
1
2
p q
= =  bo‘lgan holda 
Muavr, umumiy holda  (
)
p q
≠
 esa Laplas hal qilganlar. Ular isbotlagan ikkita 
asimptotik formulalar quyidagi Muavr-Laplas teoremasi ko‘rinishida keltiriladi.  
Muavr-Laplasning lokal teoremasi. 
Agar n ta bog‘liq bo‘lmagan tajribalarning har birida biror A hodisaning ro‘y 
berish ehtimolligi  (0
1)
p
p
< <  bo‘lsa, u holda m ning ushbu 
m np
c
npq
−
<     (c–o‘zgarmas son) 
shartni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlari uchun tekis ravishda  

 96
2
1
2
1
1
( )
1
2
m np
npq
n
P m
e
o
npq
n
π
⎛
⎞
−
− ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
 
tenglik bajariladi.   
Isboti. Тeoremani analiz kursidan ma’lum bo‘lgan ushbu  
1
!
2
,
12
n
n
n
n
n
n n e e
n
θ
π
θ
−
=
⋅
≤
 
Stirling formulasidan foydalanib isbotlaymiz. Agar  
, ,
m n p
m np
x x
npq
−
=
=
 
belgilashni kiritsak, u holda  
1
q
m np x npq np
x
np
⎛
⎞
=
+
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 
   (1) 
va  
1
q
n m nq x npq nq
x
np
⎛
⎞
− =
−
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
 
   (2) 
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. (1) va (2) tengliklardan ko‘rinadiki,  n
→ ∞  da va  x c
≤  
shart bajarilganida m, n–m cheksizlikka intiladi. Shu sababli, (n–m)! va m! sonlar 
uchun Stirling formulasini qo‘llashimiz mumkin va binomial formulani 
quyidagicha yoza olamiz:  
,
!
( )
!(
)!
2
(
)
(
)
n m
n
m n m
m n m
n
m
n m
n
n
n p q
P m
p q
e
m n m
m n m
m n m
θ
π
−
−
−
=
=
⋅
−
−
−
 
Bu yerda  
,
1 1
1
1
12
n m
n m n m
θ
⎛
⎞
≤
+
+
⎜
⎟
−
⎝
⎠
. 
   (3) 
(1), (2) va (3) munosabatlardan ushbu tengsizlik o‘rinli bo‘ladi: 
 
,
1
1
1
1
12
n m
n
pq
pq
p x
q x
n
n
θ
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
≤
+
+
⎜
⎟
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
.       
 
       (4) 

 97
Bundan ko‘rinadiki,  x
c
<  bo‘lgani uchun  n → ∞  da 
,
1
n m
e
θ
→ . Natijada (4) 
ga asosan katta n lar uchun  
 
,
1
1
n m
e
O
n
θ
⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
    
 
 
 
(5) 
ifodani hosil qilamiz. Тeorema shartiga asosan 
q
x
np
 va 
p
x
nq
 miqdorlar n ning 
yetarlicha katta qiymatlarida istalgancha kichik bo‘ladi.  
Shu sababli ln 1
q
x
np
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 va  ln 1
p
x
nq
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
 ifodalarni darajali qatorga 
yoyib,  
2
3/ 2
1
1
ln 1
,
2
q
q
qx
x
x
O
np
np
np
n
⎛
⎞
⎛
⎞
+
=
− ⋅
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
 
2
3/ 2
1
1
ln 1
2
p
p
px
x
x
O
nq
nq
nq
n
⎛
⎞
⎛
⎞
−
= −
−
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
 
tengliklarni hosil qilamiz. Bu tengliklarga asosan  
ln
ln
ln
ln
(
)ln
(
)
m
n m
n
m n m
n
n m
n p q
np
nq
m
n m
m
n m
m n m
m
n m
np
nq
−
−
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
= −
−
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
 
(
)
2
2
3/ 2
3/ 2
2
ln 1
ln 1
(
)
1
1
1
1
(
)
2
2
1
.
(6)
2
q
p
np x npq
x
nq x npq
x
np x npq
np
nq
q
qx
p
px
x
o
np x npq
x
o
np
np
n
nq
nq
n
x
o
n
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
= −
+
+
−
−
−
= −
+
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎡
⎤
⎡
⎤
⎛
⎞
⎛
⎞
⋅
−
+
−
−
−
− ⋅
+
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
⎣
⎦
⎛
⎞
= −
+ ⎜
⎟
⎝
⎠
 
Natijada (6) dan 
1
1
1
O
n
e
O
n
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
= + ⎜
⎟
⎝
⎠
 ni e’tiborga olgan holda  
2
1
1
2
(
)
x
n
m n m
O
n
m
n m
n p q
e
m n m
⎛
⎞
⎛
⎞
−
−
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
−
=
−
 
 
 
          (7) 
tenglikni hosil qilamiz. Bevosita ishonch hosil qilish mumkinki, 

 98
1
1
1
1
1
O
n
O
n
⎛
⎞
= + ⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
+ ⎜
⎟
⎝
⎠
. 
Shuning uchun (1), (2) tengliklarga asosan  
1
1
1
2
(
)
1
2
2
1
O
n
n
m n m
npq
npq
O
n
π
π
π
⎛
⎞
+ ⎜
⎟
⎝
⎠
=
=
−
⎛
⎞
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
. 
 
    (8) 
Demak, yetarlicha katta n lar uchun (4), (5), (7), (8) ifodalardan teoremaning 
o‘rinli ekaniga ishonch hosil qilamiz. Тeorema isbotlandi.  
2
2
1
( )
2
x
x
e
ϕ
π
−
=
 funksiyaning х argument musbat qiymatlariga mos tuzilgan 
qiymatlari jadvali mavjud (1-ilova).  ( )
x
ϕ
 funsiyaning juftligini e’tiborga olib bu 
jadvaldan argumentning manfiy qiymatlari uchun ham foydalaniladi.  
1-misol. Har bir tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi 0,2 ga teng 
bo‘lsa, 400 ta tajribada bu hodisalarning rosa 80 marta ro‘y berish ehtimolligini 
toping. 
Yechish
.
 n=400; m=80; p=0,2; q=0,8. 
Yuqoridagi teoremadan foydalanamiz:  
( )
( )
( )
( )
400
1
80
8
400 0,2 0,8
x
x
P
x
npq
ϕ
ϕ
ϕ
≈
=
=
⋅
⋅
, 
bunda 
80 400 0,2
0
8
m np
x
npq
−
−
⋅
=
=
=  jadvaldan  (0) 0,3989
ϕ
=
 ekanligini e’tiborga 
olsak,  
 
 
  
400
0,3989
(80)
0,04986
8
P
≈
=
. 
 
Muavr-Laplasning integral teoremasi 
Agar  A hodisaning n ta bog‘liq bo‘lmagan tajribalarning har birida ro‘y 
berish ehtimolligi o‘zgarmas va p (0<p<1) ga teng bo‘lsa, u holda yetarlicha katta 

 99
n larda  A hodisaning m
1
 dan m
2
 tagacha ro‘y berish ehtimolligi 
(
)
1
2
P m
m m
≤ ≤
 
taqriban quyidagicha hisoblanadi: 
(
)
( )
( )
1
2
2
1
P m
m m
Ф x
Ф x
≤ ≤
≈
−
, 
bu yerda  
2
1
2
2
1
2
0
1
( )
,
,
,
1
.
2
x
t
m
np
m
np
Ф x
e dt
x
x
q
p
npq
npq
π
−
−
−
=
=
=
= −
∫
 
Bu teoremani isbotsiz qabul qilamiz.  
2-misol
.
 Iхtiyoriy olingan pillaning yaroqsiz chiqish ehtimolligi 0,2 ga teng. 
Тasodifan olingan 400 ta pilladan yaroqsizlari soni 70 tadan 130 tagacha bo‘lish 
ehtimolligini toping.  
Yechish. p=0,2; q=0,8; n=400; m
1
=70; m
2
 =130. 
U holda  
1
1
2
2
70 400 0,2
10
1,25,
8
400 0,2 0,8
130 400 0,2 55
6,25.
8
8
m
np
x
npq
m
np
x
npq
−
−
⋅
=
=
= −
= −
⋅
⋅
−
−
⋅
=
=
=
=
 
jadvaldan 
(
)
(
)
1,25
1,25
0,39435
Φ −
= −Φ
= −
, 
(
)
6,25
0,5
Φ
=
, chunki 
5
x
> da 
( )
0,5
x
Φ
=
. 
Demak,  
(
)
(
)
(
)
400
70,130
6,25
1,25
0,5 0,39435 0,89435
P
Ф
Ф
≈
+
=
+
=
. 
 
3.3-§.   Lokal limit teorema 
 
Ehtimolliklar nazariyasida diskret tasodifiy miqdorlarning taqsimotlari 
uchun isbotlangan limit teoremalar lokal teoremalar deyiladi. Quyida biz yuqorida 
keltirilgan Muavr-Laplas lokal teoremasini umumlashtirilgan variantda keltiramiz. 
Kelgusida quyidagi belgilashlardan foydalanamiz: agar ikkita ketma-ketlik 
{ }
n
a  va 
{ }
n
b  uchun 
1,
n
n
a
n
b
→
→ ∞  bo‘lsa, bu munosabatni  
n
n
a
b
∼  

 100
ko‘rinishda belgilaymiz (bu ketma-ketliklar ekvivalent deyiladi). 
O‘zaro bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi  
1
2
, ,..., ,...
n
ξ ξ
ξ
 
berilgan bo‘lsin. Agar bu ketma-ketlikning elementlari bir hil taqsimlangan va  
1 ehtimolligi ,
0
1
0 ehtimolligi 1
,
k
p
p
p
ξ
⎧
=
< <
⎨
−
⎩
 
bo‘lsa, u holda bu ketma-ketlik 
Bernulli sхemasini tashkil qiladi, deymiz.  
Haqiqatan ham, 
k
ξ
 Bernulli sхemasidagi 
k-chi tajribaning natijasiga mos keladi. 
Agar 
1
2
...
n
n
S
ξ ξ
ξ
= + + +  deb belgilansa, 
n
S  tasodifiy miqdor Bernulli sхemasini 
biror 
A хodisaning ro‘y berishlar sonini ifodalab, uning taqsimoti  
(
)
(
)
1
n k
k
k
n
n
P S
k
C p
p
−
=
=
−
 
 
                           (1)  
binomial taqsimot bo‘ladi. Bizga ma’lumki, (1) formuladan 
n larning katta 
qiymatlari uchun foydalanish qo‘shimcha noqulayliklarni keltirib chiqaradi. 
Shuning uchun ham 
(
)
n
P S
k
=
 ehtimollikning 
n
→ ∞  dagi asimptotikasini topish 
zaruriyati yuzaga keladi. Shu maqsadda  
( )
(
)
1
ln
1
ln
, 0
1
1
x
x
H x
x
x
x
p
p
−
=
+ −
< <
−
 
funksiyani kiritamiz. 
1-teorema
. Agar 
n
→ ∞ ,  n k
− → ∞  bo‘lsa, 
(
)
(
)
( )
{
}
1
*
exp
*
2
* 1
*
n
n
S
P S
k
P
p
nH p
n
np
p
π
⎛
⎞
=
=
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
−
∼
 
munosabat o‘rinli bo‘ladi va bu yerda  *
k
p
n
= . 
Isbot. Analiz kursidan Stirling formulasi deb ataluvchi quyidagi munosabat 
ma’lum: 
!
2
,
n
n
n
n n e
n
π
−
⋅
→ ∞
∼
. 
Bu formuladan foydalanib quyidagi ekvivalent munosabatlarni yozamiz: 
(
)
(
)
(
) (
)
!
1
1
!
!
n k
n k
k
k
k
n
n
n
P S
k
C p
p
p
p
k n k
−
−
=
=
−
=
−
−
∼  

 101
(
)
(
)
(
)
1
2
n
n k
k
n k
k
n
n
p
p
k n k
k n k
π
−
−
⋅
⋅
−
=
−
−
∼
 
(
)
(
)
1
exp
ln
ln
2
* 1
*
k
n k
k
n k
n
n
p
p
π
−
⎧
⎫
=
−
−
−
⋅
⎨
⎬
⎩
⎭
−
 
(
) (
)
{
}
exp
ln
ln 1
k
p
n k
p
⋅
+
−
−
=  
(
)
(
) (
)
{
}
1
exp
* ln * 1
* ln 1
*
2
* 1
*
n p
p
p
p
np
p
π
=
−
+ −
−
⋅
⎡
⎤
⎣
⎦
−
(
) (
)
{
}
(
)
( )
{
}
1
exp
* ln
1
* ln 1
exp
*
2
* 1
*
n p
p
p
p
nH p
np
p
π
⋅
−
− −
−
=
−
⎡
⎤
⎣
⎦
−
. 
1-teorema isbot bo‘ldi. 
( )
H x  funksiyaning cheksiz differensiallanuvchi ekanligini ko‘rish qiyin 
emas. Хususan, 
( )
( )
1
1
1
ln
ln
,
1
1
x
x
H x
H x
p
p
x
x
−
′
′′
=
−
= +
−
−
. 
O‘z-o‘zidan ko‘rinadiki, 
( )
( )
0
H p
H p
′
=
=  va  *
0
p
p
− →  bo‘lganda 
quyidagi yoyilma o‘rinli bo‘ladi: 
( )
(
)
(
)
3
2
1 1
1
*
*
*
2
H p
p
p
O p
p
p
q
⎛
⎞
=
+
−
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
,
1
 
1
q
p
= − . 
Bu yoyilmadan 1-teoremaga asosan kelib chiqadiki,  *
p
p
∼  va 
(
)
3
*
0
n p
p
−
→  bo‘lsa 
(
)
(
)
2
1
exp
*
2
2
n
n
P S
k
p
p
pq
npq
π
⎧
⎫
=
−
−
⎨
⎬
⎩
⎭
∼
. 
Agar 
1
2
npq
π
∆ =
, 
( )
2
2
1
2
x
x
e
ϕ
π
−
=
 bo‘lsa oxirgi ekvivalentlik 
munosabatidan quyidagi natija kelib chiqadi. 
                                           
1
  Asimptotik analizda ko
‘
p
 
 qo
‘
llaniladigan belgilashlarni eslatib o
‘
tamiz: agar 
( )
0
b x
>
 va 
( )
( )
0
lim
0
x
x
a x
b x
→
=  bo
‘
lsa, 
0
x
x
→  da 
( )
( )
(
)
a x
o b x
=
 deymiz; agar 
( )
( )
0
lim sup
x
x
a x
b x
→
< ∞  bo
‘
lsa, 
( )
( )
(
)
a x
O b x
=
 deymiz.
 

 102
Natija.
 Agar 
(
)
( )
2
3
*
z n p
p
k np o n
=
−
= −
=
 bo‘lsa, 
(
)
(
)
( )
n
n
P S
k
P S
np z
z
ϕ
=
=
−
=
∆ ⋅ ∆
∼
.                           (2) 
Keltirilgan (2) ekvivalentlik munosabatini 
Muavr-Laplasning lokal limit 
teoremasi deb ham ataladi. Bu formula  *
p
p
≈  bo‘lganda 
{
}
n
S
m
<
 ko‘rinishidagi 
hodisalarning ehtimolligini baholashga imkon beradi. Agar  *
p  tub ma’noda  p  
dan farq qilsa, bu ehtimollikni oldingi  3.1-§ da keltirilgan natijalardan foydalanib 
baholash mumkin. 
Misol. Aytaylik toq sondagi 
2
1
n
m
=
+  hay’at a’zolaridan har biri 
boshqalarga bog‘liq bo‘lmagan holda 
0,7
p
=
 ehtimollik bilan to‘g‘ri qaror qabul 
qiladi. Ko‘pchilik ovoz bilan qabul qilingan qarorning to‘g‘ri bo‘lishining 
ehtimolligini 0,99 dan kam bo‘lmasligini ta’minlaydigan hay’at a’zolarining 
minimal soni topilsin. 
Yechish.  Тasodifiy miqdor 
1
k
ξ
=  deymiz, agar k-chi  hay’at a’zosi to‘g‘ri 
qaror qabul qilsa, aksincha 
0
k
ξ
=  deymiz, agar k-chi  hay’at a’zosi noto‘g‘ri qaror 
qabul qilsa. Masalaning ma’nosi bo‘yicha bizni 
n  ning shundek toq qiymatlari 
qiziqtiradiki, ular uchun 
(
)
0,01
n
P S
m
≤
≤
 bo‘lishi kerak. Тushunarliki, qabul 
qilingan qarorning aniqligiga 
n  ning katta qiymatlarida erishish mumkin. Oldingi  
3.1-§ da keltirilgan natijalarga asosan, 
( )
(
) ( )
(
)
(
)
1
1
2
1
n
n
n
n
m
m
p
Q m
P S
m
P S
m
P S
m
n
p m
p
+ −
=
≤
≈
=
≈
=
+
−
−
. 
Biz ko‘rayotgan masalada 
1
*
2
p
≈
, 
( )
(
)
1
1
ln 4 1
2
2
H
p
p
= −
−
, 
( )
1
1
ln
2
p
H
p
−
′
=
. Bularni hisobga olgan holda, 
(
)
n
P S
m
=
 ehtimollikni 1-
teorema yordamida baholaymiz: 
(
)
2
1
1
exp
2
1
2 2
n
p
P S
m
nH
p
np
n
⎧
⎫
⎛
⎞
≤
≈
−
−
≈
⎨
⎬
⎜
⎟
−
⎝
⎠
⎩
⎭
 

 103
2
1
1
1
exp
2
1
2
2
2
p
nH
H
p
np
⎧
⎫
⎛ ⎞
⎛ ⎞
′
≈
−
+
≈
⎨
⎬
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎩
⎭
 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2
2 1
1
4 1
0,915
0,84
2
1
n
n
p
p
p
p
a n
p
n
n
π
−
≈
−
≈
=
−
. 
Oson ishonch hosil qilish mumkinki, 
( )
a n  monoton kamayuvchi funksiya 
va  
( )
0,01
a n
=
 
tenglamaning yechimi 
33
n
=
 bo‘ladi. Bu javobga aniq formulalardan va 
kompyuterdan foydalanib ham kelish mumkin. 
Endi 
(
)
n
P S
k
=
 ehtimollikni 1-teoremaga asolanib baholashdagi yuzaga 
keladigan  хatoliklarni o‘rganishga o‘tamiz. Buning uchun Stirling formulasidagi 
qoldiq hadning quyidagi bahosidan foydalanamiz: 
1
1
!
2
,
12
1
12
n
n
n
n
n
n n e e
n
n
θ
π
θ
−
=
⋅
<
<
+
. 
(В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Москва, 1984. 
Т.1, 66-bet).