O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi

Yechilishi.Г –aylananing parametrik tenglamasi quyidagicha bo‘ladi.

bo‘ladi.



3-misol.formuladan va II tur egri chiziqli integralni yechish qoidasidan foydalanib intagralni hisoblang, bunda Гchiziq soat strelkasiga tesqari yonalgan aylananing yuqori yarmi.

Yechish.aylananing parametric tenglamasi va larni hisobga olsak:



4-misol.integralni Г : aylananing yuqori yarmi bo′yicha hisoblang

Yechish.





5-misol.

bunda

Javob:

6-misol.

Javob:-

Ko‘pgina hollarda integralning qiymati ikki narsaga, ya’ni berilgan funksiyaga va Г – chiziqning formasiga bog‘liq. Agar nuqtalarni tutashtiruvchi ikki xil va chiziqlarni olsak, integralning qiymati ham umuman ikki turli bo‘lishi, ba’zan esa teng bo‘lib qolishi mumkin.

Masalan, ushbu tenglik o‘rinli bo‘lsin:

(10)

ya’ni integralning qiymati integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasin, u holda (8) dan quyidagini yozish mumkin:

yoki

Demak, integralning qiymati integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligi uchun (uning nuqtalarning o‘rniga bog‘liq bo‘lishi uchun) shu nuqtalarni tutashtiruvchi yopiq kontur bo‘yicha olingan integralning qiymati nolga teng bo‘lishi kerak.

Qaysi shartlar bajarilganda integralning qiymati nolga teng yoki integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligiga quyidagi Koshi teoremasi javob beradi.

Bir bog‘lamli soha uchun Koshi teoremasi.

Teorema. Agar bir bog‘lamli E sohada funksiya analitik bo‘lsa, Г da yotuvchi har qanday Г yopiq kontur bo‘ylab funksiyadan olingan integral nolga teng bo‘ladi:

(11)

Isboti.funksiyaning hosilasi ham E da uzluksiz bo‘lsin.

bo‘lgani uchun lar ham D da uzluksiz bo‘ladi, demak, larning ham uzluksizligi kelib chiqadi. U holda Grin formulasiga ko‘ra quyidagini yozish mumkin:

Koshi-Riman shartlariga asosan:

bo‘lgani uchun oxirgi tenglik nolga teng bo‘ladi, ya’ni . Bu teorema birinchi marta mashhur fransuz matematigi Eduard Gursa (1858-1936) tomonidan isbotlangan.

Ko‘p bog‘lamli soha uchun Koshi teoremalari.

1-teorema. Agar ko‘p bog‘lamli yopiq sohada funksiya analitik bo‘lsa, shu sohaning butun konturi bo‘ylab musbat yo‘nalishda funksiyadan olingan integral nolga teng bo‘ladi. Bu teorema quyidagicha ham (4-rasmga ko‘ra) yoziladi:

yoki

(11)

Teoremani isbotsiz qabul qilamiz.

2-teorema. Agar ko‘p bog‘lamli yopiq sohada funksiya analitik bo‘lsa, bu funksiyadan tashqi kontur bo‘yicha olingan integral ichki konturlar bo‘yicha olingan integrallar yig‘indisiga teng.

Bu teoremani isboti 1-teoremadan kelib chiqadi. Masalan, shaklga asosan quyidagi tenglikni yozish mumkin:

(12)

Ta’rif.Agar E sohaning barcha nuqtalarida tenglik bajarilsa, u holda funksiya berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.

Haqiqiy o‘zgaruvchilar sohasidagi kabi kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi uchun ham quyidagi teorema o‘rinli.

Teorema. Agar E sohada funksiya funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda (bunda C – ixtiyoriy o‘zgarmas) ham E da o‘sha funksiya uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi va aksincha, agar va lar ning boshlang‘ich funksiyalari bo‘lsa, u holda barcha lar uchun

(13)

bo‘ladi.

Berilgan funksiyaning hamma boshlang‘ich funksiyalari aniqmas integral deyilib, ushbu

simvol bilan belgilanadi. Demak (1) ga muvofiq

(14)

bunda

Endi funksiya bir bog‘lamli E sohada analitik bo‘lsin. E da vaz nuqtalarni birlashtiruvchi Г kontur bo‘ylab integrallash talab qilinsa, unga to‘g‘ridan – to‘g‘ri haqiqiy sonlar nazariyasidagidek Nyuton – Leybnits formulasini qo‘llash mumkin:

(15)