O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi

1-misol.funksiya yordamida bajariladigan akslantirishda ushbu nuqtalardagi Ф burilish burchagi va R cho‘zilish koeffitsiyenti topilsin.

a) b)

Yechilishi.

a),ya’ni cho‘zilishi ro‘y bermaydi.

, ya’ni burilmaydi.

b) demak, ga cho‘ziladi.

, demak chiziq ga buriladi.

Kompleks (z) tekisligidagi biror E sohada uzluksiz bir qiymatli

funksiya berilgan bo‘lsin, u holda funksiya E soha ichidan olingan ixtiyoriy Г silliq chiziqda ham bir qiymatli va uzluksiz bo‘ladi.

Bu chiziqning tenglamasi bo‘lib, uning boshlang‘ich nuqtasi va oxirgi nuqtasi ya’ni bo‘lsin. Г chiziqning yo‘nalishini ikki xil aniqlash mumkin. Odatda t – parametrning oshib borishga mos yo‘nalishini musbat yo‘nalish, bunga teskari yo‘nalishini manfiy yo‘nalish deb qabul qilinadi.

Г – сhiziqni nuqtalar orqali n ta yoychalarga ajrataylik va har bir yoychada bittadan ixtiyoriy nuqta olaylik va bu nuqtalardagi funksiyaning qiymatlarini topaylik. Quyidagicha ko‘paytmalarning yig‘indisini tuzaylik:

(5)

Bunda va (5)ga integral yig‘indi deyiladi. deb belgilaylik.

Ta’rif. Agar - nolga intilganda (5) integral yig‘indi aniq limitga ega bo‘lsa va bu limitning qiymati Г ni qaysi usulda larga bo‘lish usuliga va bu bo‘lakchalarga nuqtalarni tanlash usuliga bog‘liq bo‘lmasa, bu limitning qiymati funksiyadan Г chiziq bo‘yicha olingan kontur integral deyiladi va quyidagicha yoziladi:

(6)

Г chiziq integrallash yo‘li yoki konturi deyiladi. Agar ni e’tiborga olsak, bundagi va funksiyalar ham Г da uzluksiz bo‘ladi va quyidagini yozish mumkin:

(7)

Bundan ko‘rinadiki, kompleks o‘zgaruvchilar funksiyasining integrali 2 ta haqiqiy o‘zgaruvchilar funksiyasining egri chiziqli integrali ko‘rinishiga keladi.

1-xossa. O‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin:

Isboti. Haqiqatan ham agar a – o‘zgarmas son bo‘lsa, ushbu tenglik o‘rinli:

bundanda hadlab limitga o‘tsak, 1-xossa isbot bo‘ladi.

2-xossa. Chekli sondagi funksiyalar yig‘indisidan olingan integral har bir qo‘shiluvchi funksiyalardan olingan integrallar yig‘indisiga teng, ya’ni:

Isboti 1-xossadagidek isbotlanadi.

3-xossa. Integrallar konturining yo‘nalishi qarama-qarshisiga o‘zgartirilsa, integral belgisi oldidagi ishora ham o‘zgaradi, ya’ni:



Isboti. Haqiqatan ham, integral yig‘indi Г ning musbat yo‘nalishida olinsa ga teng, agar (manfiy) qarama-qarshi yo‘nalishda olinsa ga teng bo‘ladi. Shuning uchun va yig‘indilar faqat ishoralari bilan farq qiladi, demak limitlari ham faqat ishorasi bilan farq qiladi.

4-xossa. Agar Г chiziqning uzunligi lbo‘lib, uning barcha nuqtalarida son uchun o‘rinli bo‘lsa, ushbu tengsizlik ham o‘rinlidir:

(Isbotsiz).

5-xossa. Agar bo‘lsa, ushbu tenglik o‘rinlidir:

(isbotsiz).

kompleks funksiyadanГ chiziq bo‘ylab olingan integral (7) formulaga ko‘ra haqiqiy o‘zgaruvchidan olingan egri chiziqli integralni hisoblash uchun Г chiziqning tenglamasi parametrik holda berilgan bo‘lishi kerak.

Г chiziqning parametriktenglamalari bo‘lsin. Bu parametrik tenglamalarni kompleks shaklda yozsak, ya’ni:

ekanligi kelib chiqadi va funksiya ham segmentda uzluksiz bo‘ladi. Bularni e’tiborga olsak, (5) ni quyidagicha yozish mumkin:



yoki

(8)

yok (9)

Shunday qilib, kompleks o‘zgaruvchining funksiyasida Г kontur bo‘yicha olingan integralni hisoblash masalasi aniq integralni hisoblashga keltirildi.

2-misol.integral yarim aylana bo‘yicha hisoblansin.