O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi

1-misol.

Biz ilgari

bo‘lishini ko‘rgan edik. Xususiy holda a=0 bo‘lsa,

Shularga asosan butun ratsional funksiyadan yopiqГ kontur bo‘ylab integral olishimiz mumkin.

a)

bundakoeffitsiyentlar o‘zgarmas kompleks sonlardan iborat bo‘lib, - kompleks o‘zgaruvchidir.

demak,

(16)

b) Agar a nuqta Г yopiq chiziq tashqarisida yotgan bo‘lsa,

bo‘lishini biz ko‘rgan edik.

z=a nuqta Г ning ichida yotadi, deb faraz etaylik. Agar Г ichida markazi z=a dan iborat biror C aylana yasasak ikki bog‘lamli soha hosil bo‘lib, unda

funksiya analitik bo‘ladi. Shu sababli Koshi teoremasiga asosan tashqi va ichki konturlar bo‘ylab olingan integrallar o‘zaro teng bo‘ladi, ya’ni

(17)

(18)

So‘nggi formulaga asoslanib quyidagi oddiy kasr ratsional funksiyalardan integral olish qiyin emas.

Agar a nuqta Г tashqarisida bo‘lsa har bir haddan olingan integral nolga teng bo‘ladi. Agar anuqta Г ichida yotsa, u holda (6) ga asosan

ya’ni

(19)

Mabodo ratsional funksiya ushbu

ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, dastlab uni oddiy kasrlarga ajratib, so‘ngra yuqoridagi metod bilan integrallash kerak.

Misol.

bundagiГ chiziq aylanadan iborat. Integral ishorasi ostidagi kasr-ratsional funksiyani quyidagicha oddiy kasrlarga ajratib olamiz.

U holda

Bu integrallarning har birini tekshirib chiqaylik. (6) ga asosan

nuqtaГ aylananing tashqarisida bo‘lgani uchun

Demak,.

Г – chiziq bilan chegaralangan yopiq sohada analitik bo‘lsin, u holda ga tegishli har qanday yopiq sohada ham funksiya analitik bo‘ladi. Sohaning ichida ixtiyoriy nuqta olaylik va bu nuqtani markaz qilib, - radiusli aylana chizaylik. U holda Г va lar bilan chegaralangan sohada ham analitik bo‘ladi, chunki .

Demak, (10) Koshi formulasiga asosan:

(20)

Har qanday uchun shunday son mavjudki, - aylananing ixtiyoriy z nuqtasi uchun tengsizliklar o‘rinli, demak

Ikkinchi tomondan

Demak, bunda, agar (1) da hadlab limitga o‘tsak, quyidagi tenglik hosil bo‘ladi:

Г- chiziq bo‘ylab olingan integral ga bog‘liq bo‘lmagani uchun limit belgisini tashlab yuborish mumkin, demak, ushbu tenglikni yozish mumkin: (21)

Bu Koshining integral formulasi deyiladi. Bu formulani E ko‘p bog‘lamli soha bo‘lganida ham qo‘llash mumkin, bunda ichki nuqtasidir.

1-misol.integral aylana bo‘ylab hisoblansin.

Yechiilishi.Misolimizda .

Demak, Koshining integral formulasiga ko‘ra:



Biz Koshining integral formulasini keltirib chiqarishda biz funksiya Г bilan chegaralangan yopiq sohada analitik bo‘lishini talab qilgan edik. Agar bu ikki shartdan (yopiq, analitik) birortasi buzilsa, Koshi formulasi ham o‘rinli bo‘lmaydi. Г – chiziq yopiq bo‘lmasligi ham mumkin. Faraz qilaylik, funksiya shu Г – chiziqda faqat uzluksiz bo‘lsin, u holda agar biz Г da yotmaydigan birorta z nuqta olsak, kasr shu chiziqning barcha nuqtalarida uzluksiz bo‘ladi, chunki . Shu sababli ushbu integral tekislikdagi har bir (Г da yotmaydigan) nuqta uchun aniq qiymatga ega, ya’ni z ning funksiyasi

(22)

Bu Koshi tipidagi integral deyiladi.

1-teorema. Koshi tipidagi integral bilan aniqlangan funksiya Г chiziqda yotmaydigan, har qanday chekli z nuqtada analitik bo‘ladi. Shunday nuqtalarda funksiya barcha yuqori tartibli xossalarga ega bo‘lib, ular ushbu formula orqali ifodalanadi:

(23)

Teoremani isbotsiz qabul qilamiz.

2-teorema. Yopiq sohada analitik bo‘lgan har qanday funksiya shu sohada istalgan tartibli hosilalarga ega bo‘lib, ular ushbu formula bilan ifodalanadi:

(24)

Bu funksiyaning yuqori tartibli hosilasini topish formulasidir.