O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi

Yechilishi. Koshi-Adamar formulasini qo‘llaymiz, bunda

Demak, qator butun kompleks tekisligida yaqinlashuvchi.

Misol.- qatorning yaqinlashish doirasi topilsin.

Yechilishi. Koshi-Adamar formulasiga ko‘ra Eyler formulasini e’tiborga olsak:

Demak, qator birlik doiraning ichki nuqtalarida yaqinlashuvchi.

Agar funksiya biror nuqtaning atrofida analitik bo‘lsa, uni z-a ga nisbatan musbat darajali qatorga quyidagicha yoyish mumkin:

(9)

Bundagi koeffitsiyentlar quyidagicha topiladi: avvalo larni topib, z=a nuqtadagi qiymatlarini topsak, ular quyidagicha bo‘ladi:

(10)

Bularni (9) ga qo‘ysak ushbu Teylor qatori hosil bo‘ladi:

(11)

Agar (11) da a=0 bo‘lsa, quyidagi Makloren qatori kelib chiqadi:

(12)

Demak,

(13)

ekanligini ko‘rish mumkin. Umuman (9) qatorning koeffitsiyentlarini Koshining integral formulasidan foydalanib ham topish mumkin:

. (14)

Misol.'>Misol.funksiya nuqta atrofida Makloren qatoriga yoyilsin.

Yechilishi.

Misol.Funksiya nuqta atrofida Makloren qatoriga yoyilsin.

Yechilishi. Bularni (12) Makloren qatoriga qo‘yamiz:

5-ta’rif. Agar kompleks hadli qator z-a ning manfiy darajalari bo‘yicha yoyilgan bo‘lsa, u manfiy darajali qator deyiladi, ya’ni

(15)

Bu manfiy darajali qator deyiladi va uning yaqinlashish sohasi doira tashqarisidan iborat, bunda yaqinlashish radiusi deyiladi.

Misol.qatorning yaqinlashish radiusi topilsin.

Yechilishi.- yaqinlashish radiusi. Demak doira tashqarisida qator yaqinlashadi.

6-ta’rif. Ushbu ko‘rinishdagi qator



(16)

Loran qatori deyiladi. Bunda

(17)

qatorning bosh qismi deyilib, da yaqinlashadi.

(18)

Loran qatorining to‘g‘ri qismi deyiladi va da yaqinlashadi.

Teorema. Agar funksiya halqada analitik va bir qiymatli bo‘lsa, shu halqada bu funksiyani yagona usulda Loran qatoriga yoyish mumkin bo‘lib, uning to‘g‘ri qismi doirada, bosh qismi esa doiradan tashqarida yaqinlashuvchi bo‘ladi, ya’ni

(19)

Bundan ko‘rinadiki funksiyaning Loran qatori halqada yaqinlashuvchi bo‘ladi. Loran qatorining koeffitsiyentlarini ham (14) Koshi formulasidan foydalanib topish mumkin. Ba’zan bu tipdagi integrallarni hisoblash murakkab bo‘lgan hollarda cun’iy usullardan ham foydalaniladi.

Misol.funksiya holqada Loran qatoriga n ning darajalari bo‘yicha yoyilsin.

Yechilishi.ko‘rinishga keltiramiz.

Bunda yaqinlashish sohasi.

. Bunda yaqinlashish sohasi.

Demak, - Loran qatori bo‘lib, u holqada yaqinlashuvchi bo‘ladi.

Misol.funksiya nuqta atrofida Loran qatoriga yoyilsin.

Yechilishi. Asosiy elementar kompleks funksiyalarning Teylor va Makloren qatorlari ham haqiqiy o‘zgaruvchili elementar funksiyalarning Teylor va Makloren qatorlariga o‘xshash ko‘rinishda bo‘ladi. Shuning uchun dan foydalanamiz.

Demak, .

Tayanch iboralar.

Kompleks hadli qator — hadlari kompleks sonlardan iborat qator.

Funksional qator — hadlari funksiyalardan iborat qator.

Darajali qator — funksional qatorning xususiy ko‘rinishi bo‘lgan qator.

Manfiy darajali qator — kompleks hadli qator z-a ning manfiy darajalari bo‘yicha yoyilgan qator.