O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi

Quidagi integralni hisoblang

1. 
   a) J:ni; b) J; -
   
2. 
   a) J:; b) J: 0
   
3. 
   a) J: 0; b) J:
   
4. 
   a) J: 0; b) J: ni cos1
   
5. 
   a) J: n; b) J: 2 ni
   
6. 
   a) J: nsh1; b)
   
7. 
   a) J: b) J:
   
8. 
   a) J: b) J:
   
9. 
   a) J: n; b) J:
   
10. 
    a) J: 0; b) J:ni
    

Tayanch iboralar.

Kompleks son — ko‘rinishdagi ifoda.

Jordan chizig‘i — o‘zgaruvchining ikkita har xil qiymatiga har xil nuqtalar mos keladi.

Stereografik proyeksiya — XOY tekislikning va sferaning nuqtalarini bir qiymatli moslash.

I tur konform akslantirish — nuqtadagi cho‘zilish koeffitsiyenti va burchakning kattaligi o‘zgarmasa.

II tur konform akslantirish — nuqtadagi cho‘zilishi o‘zgarmasa va burchakning ham kattaligi o‘zgarmay faqat yo‘nalishi qarama-qarshisiga o‘zgarsa.

Nazorat savollari.

1. 
   Kompleks sonlar va ular ustida amallar.
   
2. 
   Kompleks sonning logarifmi.
   
3. 
   Soha tushunchasi.
   
4. 
   Jordan chizig‘i.
   
5. 
   Stereografik proyeksiya.
   
6. 
   Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari va ularning aniqlanish sohasi.
   
7. 
   Funksiyaning limiti va uzluksizligi.
   
8. 
   Asosiy elementar funksiyalar.
   
9. 
   Kompleks o‘zgaruvchili funksiyasining hosilasi.
   
10. 
    Koshi Riman sharti.
    

11.Hosila argumentining va modulining geometrik ma’nosi.

12. I va II tur konform akslantirishlar.

13.Integralning ta’rifi.

14.Integralning asosiy xossalari.

15.Integralni hisoblash.

16.Yopiq kontur bo‘yicha olingan integral Koshi teoremalari.

17.Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral.

18.Ratsional funksiyalarni integrallash.

19.Koshining integral formulasi.

20.Koshi tipidagi integral yuqoi tartibli hosilaning mavjudligi.

KOMPLEKS HADLI QATORLAR.

1-ta’rif. Hadlari kompleks sonlardan iborat bo‘lgan

(1)

qatorkompleks hadli qator deyiladi. Bunda bo‘lib, lar haqiqiy sonlardir.

2-ta’rif. Barcha hadlari z ning funksiyasi bo‘lgan dan iborat

(2)

qator funksional qator deyiladi.

3-ta’rif. Funksional qatorning xususiy ko‘rinishi bo‘lgan ushbu ko‘rinishdagi qator

(3)

darajali qator deyiladi.

Kompleks hadli qatorlarni tekshirishda haqiqiy sonli qatorlarni tekshirishdagi barcha xossalarni qo‘llash mumkin, chunki kompleks hadli qatorlarni har doim ikkita haqiqiy sonli qatorlarning yig‘indisi ko‘rinishiga keltirish mumkin, ya’ni

(4)

bundava qatorlar haqiqiy sonli qatorlardir. Shuning uchun biz praktikada ko‘proq ishlatiladiganning darajalari bo‘yicha yoyilgan (3) ko‘rinishdagi qatorlarning ba’zi muhim xossalari bilan tanishamiz.

Ushbu

(5)

ko‘rinishdagi qatorni ba’zi xossalari bilan tanishaylik. Bunda kompleks sonlar bo‘lib, lar haqiqiy sonlardir. Agar bo‘lsa, ushbu qator hosil bo‘ladi:

(6)



4-ta’rif. Agar funksiya ko‘rinishida yozilgan bo‘lsa, funksiya z - a ning darajalari bo‘yicha darajali qatorga yoyilgan deyiladi. Darajali qatorlarning yaqinlashish sohasi doiradan iborat bo‘ladi. Shuningdek, har qanday yopiq doirada ham tekis yaqinlashuvchidir, bunda .

Teoremani isbotsiz qabul qilamiz.

Natija. Agar qator biror z=z₀ nuqtada uzoqlashuvchi bo‘lsa, bu qator tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqtada uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Misol.qator ixtiyoriy z nuqtada absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. Chunki z qanday bo‘lmasin, biror n – nomerdan boshlab qilib olish mumkin. U holda .

Demak, berilgan qatorning barcha hadlari cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning mos hadlaridan katta emas, ya’ni berilgan qator ixtiyoriy z nuqtada yaqinlashuvchi.

Umuman (5) yoki (6) ko‘rinishdagi darajali qatorlarning yaqinlashish doirasining radiusi Dalamber, Koshi-Adamar formulalari yordamida topiladi.

1. Koshi-Adamar formulasi:

(7)

2. Dalamber formulasi:

(8)

Misol.qatorning yaqinlashish doirasi topilsin.