O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’limi vazirligi abdulla qodiriy nomidagi jizzax davlat pedagogika instituti sirtqi (maxsus sirtqi) bo’lim

I I Bob. Ketma-ketliklar ustida amallar
2.1 Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida amallar
Faraz qilaylik, hamda ketma-ketliklar berilgan bo‘lsin:

Quyidagi




ketma-ketliklar mos ravishda va ketma-ketliklarning yig’indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi hamda nisbati deyiladi va ular

kabi belgilanadi.
5-teorema. [1, p.131, theorem 6.1.19] Aytaylik va ketma-ketliklari berilgan bo‘lib,

bo‘lsin. U holda da ;
, ya’ni

a)
b)
c)
d)
bo‘ladi.
Teoremaning tasdiqlaridan birini, masalan c)-ning isbotini keltiramiz.
Isbot. Teoremaning shartiga ko‘ra,

Ravshanki,
(3)
ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lganligi sababli u 1-teoremaga ko‘ra chegaralangan bo‘ladi:

Ketma-ketlik limiti ta’rifidan foydalanib topamiz:
berilgan hamda ga ko‘ra shunday topiladiki, uchun

bo‘ladi.
Shuningdek, ga ko‘ra shunday topiladiki, uchun

bo‘ladi.
Agar deyilsa, unda uchun bir yo‘la
, (4)
bo‘ladi.
(3) va (4) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa

bo‘lishini bildiradi. ►

5. Cheksiz kichik hamda cheksiz katta miqdorlar.

Faraz qilaylik, ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
2-ta’rif. [2. p.130]Agar ketma-ketlikning limiti nolga teng, ya’ni

bo‘lsa, - cheksiz kichik miqdor deyiladi.
Masalan,

ketma-ketliklar cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi.
Aytaylik, ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, uning limiti a ga teng bo‘lsin:

U holda cheksiz kichik miqdor bo‘ladi. Keyingi tenglikdan topamiz: . Bundan esa quyidagi muhim xulosa kelib chiqadi:
ketma-ketlikning limitga ega bo‘lishi uchun ning cheksiz kichik miqdor bo‘lishi zarur va etarli.
Ketma-ketlikning limiti ta’rifidan foydalanib quyidagi ikkita lemmani isbotlash qiyin emas.
1-lemma. Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlar yigindisi cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.
2-lemma. Chegaralangan miqdor bilan cheksiz kichik miqdor ko‘paytmasi cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.
3-ta’rif. [2, p.70, def. 3.7]Agar har qanday soni olinganda ham shunday natural soni topilsaki, barcha uchun

tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlikning limiti cheksiz deyiladi va

kabi belgilanadi.
Agar ketma-ketlikning limiti cheksiz bo‘lsa, cheksiz katta miqdor deyiladi.
Masalan,

ketma-ketlik cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
Endi cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar orasidagi bog’lanishni ifodalovchi tasdiqlarni keltiramiz:
1) Agar cheksiz kichik miqdor bo‘lsa, u holda cheksiz katta miqdor bo‘ladi.
2) Agar cheksiz katta miqdor bo‘lsa, u holda cheksiz kichik miqdor bo‘ladi.