O’zgaruvchan tok qonunlari

Elektr yurituvchi kuch manbaining foydali ish koeffitsiyenti
Ma'lum bir r ichki qarshilikli tok manbai R qarshilikli tashqi zanjirga ulangan bo'lsin.

Zanjirda tok mavjud bo'lganda, elektr yurituvchi kuch :

tenglikning ikkala tomonini tok kuchi kattaligiga ko'paytirsak, quyidagi tenglama hosil bo'ladi:

tenglikdan ko'rinib turibdiki, elektr yurituvchi kuch manbasi ishlab chiqarayotgan quvvati (No=Ie) zanjirning tashqi (Nj=FR) va ichki (N2=Pr) qismlarida hosil bo'ladi.
Elektr yurituvchi kuch manbaining foydali ish koeffitsiyenti (h) deb, elektr zanjirning tashqi qismida hosil bo'layotgan quvvatni (Nj ) , manba hosil qilayotgan quvvat (No) kattaligiga nisbatiga teng bo'lgan kattaIikka aytiladi:

N₀=I·E va N₁=I*Uni hisobga olsak,

Shunday qilib, tok manbaining foydali ish koeffitsiyenti tashqi zanjirdagi kuchlanishlarni elektr yurituvchi kuch kattaligiga nisbatiga teng bo'lar ekan.
Agar tashqi zanjirda energiya iste'mo1chisi sifatida faqat o'tkazgichlar bo'lsa, unda manbaning energiyasi issiqlik tariqasida ajralib chiqadi.
Bu holatda U=IR, E=I(R+r) ning tengligini hisobga olsak,

agar zanjir ichki qarshiligining tashqi qarshilikka nisbati nolga intilsa,

manbaning foydali ish koeffitsiyenti birga intiladi (n->1).
Ocmak, manbaning foydali ish koeffitsiyentini oshirish uchun imkoniyat darajasida E.Yu.K. manbaining ichki qarshiligini kamaytirish kcrak. Qisqa tutashuv holatda (R=O) manbaning foydali ish koeffitsientii (h=0) nolga teng bo'ladi.

Om va Joul-Lens qonunlarining differensial ko'rinishi
O'tkazgichni kichik bir III uzunlikdagi qismini olaylik. Uning uchlaridagi kuchlanishni -IlU=Uj - U2 deb belgilaymiz

O'tkazgichning shu qismi uchun Om qonuni quyidagicha yoziladi:

Elektr maydon kuchlanganligi uchun:

formulasidan foydalanib,

Yuqoridagi formulaga tok zichligi (j=/IS) va solishtirma elektr o'tkazuvchanlik (y= lip) formulalarini kiritib, Om qonunining differensial ko'rinishini hosil qilamiz:

Shunday qilib, o'tkazgichning ixtiyoriy nuqtasida tok zichligi, shu moddaning elektr o'tkazuvchanligini o'sha nuqtadagi elektr maydon kuchlanganligiga ko'paytmasiga teng ekan.
O'tkazgichni ( ∆S . ∆l) hajmida vaqt birligida chiqayotgan issiqlik miqdori quyidagi tenglikdan topiladi:

Agar j= va E = -∆U / ∆l ni hisobga olsak,

bo’ladi

Yuqoridagi tenglamalar Joul-Lens qonunini differcnsial ko'rinishini ifodalaydi.
Tok qonunlarining differensial shakli o'tkazgichning har xiI nuqtalarida, tok zichligi har xiI bo'lganda clcktr zanjir konturlarini hisoblashga imkoniyat beradi.