Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

            2-

 §

. Yunon matematiklarida asosiy uch muammoning qal qilinishi 

Reja: 

1. Kubni ikkilantirish masalasi. 

2. Burchakni uchga bo’`lish masalasi. 

3. Doirani kvadratlash masalasi. 

4. Muammolarni bundan keyingi qal qilinishi. 

           Irratsional sonlarni kashf etilishi matematikaning nazariy asoslarini yaratish uchun 

asosiy sabablardan biri bo’`ladi. Chunki qali mustaxkam asosga ega bo’`lmagan grek 

matematikasi irratsionallik tufayli sonlar nazariyasi va geometriyada katta qiyinchi-

liklarga duch keldi. Chunki buning natijasida metrik geometriya va o’`xshashlik kabi 

nazariyalarni  tushuntirish  qiyin  bo’`lib  qoldi.  Kashf  qilingan  faktni  moqiyatini  ilmiy 

asosda tushunish va uni tarkib topgan tasavvurlar bilan muvofiqlashtirish matema-

tikani  bundan  buyongi  rivojlanishi uchun katta turtki bo’`ldi. Ratsional sonlar bilan 

bir qatorda irratsional sonlar uchun qam yaroqli bo’`lgan matematik nazariyani yara-

tishga bo’`lgan urinish  natijasida geometrik algebra nomi bilan yangi yo’`nalish ya-

ratildi.  Ammo  geometrik  algebraning  kamchiligi  shundan  iborat  bo’`lib  qoldiki, 

chiz¼ich  va  tsirkul  yordamida  echish  mumkin  bo’`lmagan  masalalar  qam  etarlicha 

ekan. Bunday masalalar turkumiga: 

 Kubni ikkilantirish; 

Burchakni teng uchga bo’`lish; 

Doirani kvadratlash va boshqalar kiradi. 

1.  Kubni  ikkilantirish,  ya’ni  qajmi  berilgan  kub  qajmidan  ikki  marta  katta 

bo’`lgan kubni yasash. Berilgan kub qirrasi a ga teng bo’`lsin, u qolda yangi kub qirra-

sini x desak, masala x

3

=2a

3

 tenglamani echishga, yoki 

3

2

 kesmani yasashga keladi. 

---

 

20 

ªuyida Xioslik o’ippokrat (e.o. V asr o’`rtasi) tomonidan tavsiya etilgan usul bilan ta-

nishaylik. U masalani umumiyroq qilib qo’`yadi, ya’ni parallelopipeddan kub qosil qi-

lish. Buni u ikkita o’`rta proportsionalni topish masalasiga olib keladi. 

Bizga V=a

1

b

1

c

1

 parallelopiped berilgan bo’`lsin. Uni asosi kvadrat bo’`lgan yangi 

parallelopipedga  V=a

2

b  ga  keltirilgan  bo’`lsin.  Endi  buni  x

3

=a

2

b  kubga  o’`tkazamiz. 

Izlangan kubning qirrasi o’ippokratga ko’`ra a:x=x:y=y:b proportsiyadan aniqlangan. 

Buning  uchun  x

2

=au,  xu=ab  va  u

2

=bx  ko’`rinishdagi  geometrik  o’`rinlar  tekshirilgan 

va ular (a va b lar) shu geometrik o’`rinlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini 

o’`rta proportsianalini topish ko’`rinishida qal qilgan. Bu esa konus kesimlari 

ko’`rinishida qal bo’`ladigan masaladir. 

Boshqa ko’`rinishda Eratosfen kubni taqriban ikkilantiradigan qurilma (mezola-

biy) yasagan. 

Muammoning  bundan  keyingi  taqdiri  qaqida  1637  yilda  Dekart  bu  masalani 

echish mumkinligiga shubqa bildiradi. 1837 yilda Vantselь bu masalani uzil-kesil qal 

qiladi, ya’ni kubik irratsional sonlar ratsional sonlar to’`plamiga qam va uni kvadrat 

irratsionallik  bilan  kengaytirilgan  to’`plamiga  qam  tegishli  emasligini  isbotlaydi. 

Demak, masalani chiz¼ich va tsirkul yordamida qal qilib bo’`lmas ekan. 

1.  Burchakni uchga bo’`lish. 

Antik  davrning  ikkinchi  mashqur  masalasi  bu  ixtiyoriy  burchakni  geometrik 

algebra usullari bilan teng uchga bo’`lishdir. Bu masala qam oldingisi kabi uchinchi 

darajali  tenglamani  echishga  keltiriladi,  ya’ni  a=4x

3

-3x  yoki  trigonometrik 

ko’`rinishda cos =4cos

3

( /3)-3cos( /3). 

      3. Uchinchi masala - yuzi kvadrat yuziga teng bo’`lgan doirani topish. Doiraning 

yuzi    r

2

,  kvadrat  yuzi 

2