Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

x

.  U  qolda  r

2

=

2

x

  , 

x

r

  bo’`lib,    ning  arifmetik  tabiati 

ochilmaguncha  bu  muammo  qam  echimini  kutib  turdi.  Faqat  XVIII  asrga  kelib  I. 

Lambert  va  A.  Lejandrlar    ratsional  son  emasligini  isbotladilar.  1882  yilda  Linde-

mon   ni transtsendent son ekanligini, ya’ni u qech qanday butun koeffitsentli alge-

braik tenglamaning ildizi bo’`la olmasligini isbotladi. 

Albatta antik matematiklar bularni bilmaganlar. Ular muammoni qal qilish da-

vomida ko’`plab yangi faktlarni va metodlarni kashf qildilarki, shubxasiz bular ma-

tematikani rivojlantirish uchun katta qissa qo’`shdi. Ba’zi xususiy qollar uchun 

muammoni qal qilishga erishdilar. Jumladan, o’ippokrat masalasi.                                                               

1.Diametrga tiralgan va radiusi 

2

 r ga  

teng yaproqcha. Bunda yaproqcha yuzi diametri             

gipotenuza vazifasini bajaruvchi teng            

yonli to’`¼ri burchakli uchburchak ASV yuziga   

teng, ya’ni:                                       

    

                                                     

S

ADB yaproіcha

=S

ACB

                                            

2.ASV-to’`¼ri burchakli  uchburchak.                                       

Uchburchak tomonlarini  diametr qilib         

                                                                

---

 

21 

aylanalar yasalgan. U qolda katetlarga  

tiralgan yaproqchalar yuzalarining  

yi¼indisi ASV uchburchak yuziga teng, ya’ni: 

S

AEB

+S

BCF

=S

ABC

 

3.Tomonlari 1, 1, 1, 

3

 bo’`lgan  

trapetsiyaga chizilgan tashqi aylana,  

3

 tomonni esa vatar qilib,  

boshqa 3 ta segmentga o’`xshash segment  

yasaymiz.  Natijada qosil bo’`lgan  

yaproqcha yuzi trapetsiya yuziga teng, ya’ni: 

S

ADCB yaproіcha

=S

ABCD trapetsiya.                                         

 

1-rasm

 

Bunda  o’ippokrat  “O’xshash  segmentlar  yuzalarining  nisbati  ular  tiralgan  di-

ametrlar nisbatining kvadratiga proportsional” degan teoremaga asoslangan. Bun-

day yaproqlar soni qancha degan savolga javob ochiq qolaveradi. 1840 yilda nemis 

matematigi  Klauzen  yana  2  ta  yaproqcha  topadi.  XX  asrda  sovet  matematiklari 

Chebotarev  va  Dorodnovlar  tomonidan  to’`liq  javob  topildi,  ya’ni  agar  yaproqcha-

larning tashqi va ichki yoylarining burchak qiymatlari o’`zaro o’`lchamli bo’`lsa, u qol-

da masala echimga ega, aks qolda yo’`q. Shunga ko’`ra

2

1

3

1

3

2

5

1

5

3

, , , ,

 bo’`lib, boshqa ya-

proqchalar kvadratlanmaydi. 

Masalaning qo’`yilishining o’`ziyoq bizda uni chiz¼ich va tsirkulь yordamida qal 

qilib bo’`lmasligini anglatadi. 

o’ippiy usuli. 

Faraz qilaylik AVSD to’`¼ri to’`rtbur- 

chakda VS tomon AD bilan ustma-ust  

tushguncha o’`ziga parallel qolda siljisin.  

Shu bilan bir vaqtda AV tomon A  

uch atrofida soat strelkasi bo’`yicha  

AD bilan ustma-ust tushguncha         2-rasm 

aylansin. Bu ikki tomon kesishish nuqtalarining geometrik o’`rni kvadratrisa deb ata-

luvchi  egri  chiziqni  beradi.  Bu  egri  chiziqning  mavjud  bo’`lishi  burchakni  ixtiyoriy 

bo’`lakka bo’`lishni AV (yoki SD) kesmani shuncha teng bo’`lakka bo’`lish masalasiga 

keladi.  o’  nuqta 

r

АG

2

  kvadratrisa  bilan  AD  tomonning  kesishish  nuqtasi 

qo’`shimcha ravishda aniqlangan. 

Boshqa misol (orasiga qo’`yish 

usuli). Bu usulda uchlari berilgan  

chiziqlarda yotuvchi va berilgan  

nuqtadan o’`tuvchi (yoki davomida)  

kesmani yasash tushuniladi.  

Orasiga qo’`yiluvchi kesma DE=2AV.   3-rasm 

---

 

22 

 Bunda DF=FE=AB,  ABF= AFB=2 AEF=2 CBD,   CBD=

1

3

  ABC. 

 Orasiga qo’`yiluvchi kesma oldindan chiz¼ichga belgilab qo’`yilgan va u mexanik ra-

vishda qo’`z¼almas nuqta atrofida qarakatlangan, bunda belgining biri bir chiziqdan 

chiqmasdan ikkinchi belgi ikkinchi chiziqqa tushguncha qarakatlangan. 

Masalani qal qilishga ko’`p urinishlar bo’`ldi. Faqatgina X asrga kelib uchinchi da-

rajali  tenglamaga  kelishi  ma’lum  bo’`lib  qoldi.  ªat’iy  isboti  esa  Vantsel  tomonidan 

berildi.    

Ko’`rdikki,  antik  davr  matematiklari  bu  muammolarni  qal  qilish  uchun  ko’`p 

uringanlar, ammo matematik ma’lumotlarni etarli bo’`lmagani uchun oxiriga etkaza 

olmaganlar.  Shunga  qaramay,  ular  matematikani  rivojlanishi  uchun  katta  qissa 

qo’`shdilar. Yangi ma’lumotlar va yangi metodlarni yaratdilar.  

 

Tekshirish savollari: 

1. Kubni ikkilantirilishini izoxlang. 

2. Burchakni uchga bo’`lishini izoxlang. 

3. Doirani kvadratlash qaqida nimalar bilasiz ? 

4. Muammolarni bundan keyingi qal qilinishi qaqida nimalar bilasiz?