Польная диаграмма кратковременного сжатия керамзитабетона и ее учёт при оценки прочности и деформативности внецентренно сжатых керамзитожелезобетонных элементов phD., доцент Ахмедов Шерзод Баходирович

Регрессионные модели и методы многофакторного анализа. В практике получе-ния статистических моделей наиболее широкое применение имеет множественный регрессионный анализ, цель которого – дать оптимальную оценку зависимой переменной “у” исходя из независимых переменных x₁ , x₂,...x_р. Независимость переменных принимается в том смысле, что они определяются раздельно и ими можно варьировать в опыте, в то время, как зависимую переменную лишь измеряют. Регрессионный анализ про­изводится по результатам выборочных обследований, т.е. по дан­ным, представ-ляющим собой случайную выборку из совокупности всех наблюдений (генеральной совокупности ). Эксперименталь­ные данные для анализа представляются таблицей Т(х, у), являющейся случайной выборкой из n опытов.[11,12,13,14,15] На этом матери­але задача измерения связи решается как задача поиска функции регрессии
(1)
где – расчетное значение переменной у для фиксированных
x₁ , x₂,...x_р
На практике обычно применяются предположения о том, что у является главной и непрерывной функцией в пространстве независимых переменных х. Тогда в качестве функции регрессии . выбираются отрезки различной длины ряда Тейлора. В работе рассматриваются лишь первые члены этого ряда, реализующие линейную часть;
Y= в₀ + в₁х₁+ в₂х₂+…+в_Рх_р (2)
При добавлении членов ряда Тэйлора более высокого порядка линейность функции по параметрам сохраняется. Параметры b_i(i=1,2,…p) называемые коэффициентами регрессии, обычно оцениваются по методу наименьших квадратов путем минимизации остаточной дисперсии. Для получения конкретных регрессионных зависимостей на основе данных пассивного эксперимента производится следующая последова­тельность действий:
– разбиение области n экспериментальных точек на части, внутри каждой из которых существует среднее арифметическое;
– построение внутри каждой части области уравнения линейной, регрессии;
– проверка адекватности полученных уравнений регрессии.
Для поиска частей пространства, в которых допустимо построение классической регрессионной модели, используются фундаментальные преобразования факторного анализа в форме метода главных компонент. Эти преобразования позволяют не только минимизировать пространство независимых переменных о максимальным сохра-нение ем информативности, но и построить модели регрессии на главных компонентах как на статистически независимых параметрах, т. е. выполнить одно из основных требо-ваний регрессионного анализа. В основе различных моделей факторного анализа лежит гипотеза о том, что измеряемые параметры являются лишь косвенными характеристика изучаемого процесса; на самом деее существуют внутренние (неподдающиеся непосред-ственному наблюдению) параметры или свойства, число которых мало и которые опреде-ляют значения наблюдаемых параметров.[1,2,3,4,5] Эти параметры называются факторами. Теснота связи между двумя и более факторами определяется статистическими вычислениями при корреляционном анализе.Эффективным развитием корреляционного анализа следует считать факторный анализ, основные задачи которого – выявление структуры взаимосвязи между пере-менными, выделение факторов, объясняющих наблюдаемые связи переменных и сни-жение размерности исходного набора переменных.Факторы, полученные в МГК, называются главными компонентами. Геоме-трически основную идею MIK можно интерпретировать следующим образом. Если под признаковым понимать геометрическое пространство, образованное системой осей координат, находящихся во взаимооднозначном соответствии с множеством признаков, а исходный массив наблюдений представить в виде облака точек, расположенных в этом пространстве, то нахождение главных компонент связано с переходом к новой ортогональной системе координат факторного пространства: ее первая координатная ось ищется так, чтобы соответствующая ей линейная форма давала возможность извлекать наибольшую дисперсию; далее ищется ортогональная ось, которая делает то же самое с оставшейся дисперсией и т.д. Обычно выделение компонент заканчи­вается тогда, когда оставшаяся дисперсия достаточно мала, что сокращает размерность факторного пространства. Как правило, число выделяемых главных компонент несколько раз меньше числа исходных признаков. Классическая модель МГК записывается в виде:
(i=1,2,…p) (3)
т.е. объясняющие переменные x₁ , x₂,...x_р являются линейными комби­нациями некоторых новых переменных z₁, z₂….z_j – главных ком­понент; a_ij – вес j–ой главной компонента z_j в i–ой пере­менной x_i; n – число выделенных главных компонент.
Определение главных компонентов сводится к отыскание собствен­ных значений и собственных векторов корреляционной матрицы R, так как доказано, что каждое по порядку собственное значение мат­рицы R учитывает максимальную долю суммарной дисперсии исход­ных параметров. Для остановки процесса выделения главных компонент чаще всего используется условие _i1, т.е. как только очевидное собственное значение корреляционной матрицы R становится меньше единицы, расчет главных компонент заканчивается. По наеденным собственным значениям и собственным векторам матрицы R формируется матрица весов, которая дает возможность записать модель МГК для каждой объясняющей переменной через r главных компонент.Для выделения информации, содержащейся в каждой главной компоненте, выбирают те. объясняющие переменные, которые имеют высокие факторные нагрузки a_ij. Для определения таких переменных используют определенные эмпирические критерии значимости, например, a_ij0,6. Таким образом, каждая главная компонента представляется линейной комбинацией только тех объясняющих переменных, вклад которых в эту компоненту превышает выбранное критическое значение[16,17,18,19,20]
Многофакторное статистическое моделирование прочности и па­раметров диаграмм _b–_b для керамзитобетона. Вероятностно–статистические модели широко и эффективно используются для качественной и количественной оценки и прогнозирования физико–механических свойств различных видов бетонов. В работах Российских и зарубежных учёних Ю. М. Баженова, О. Я. Берга, В. А. Вознесенского, З. Г. Довжика, З. М. Ларионовой, Е. Н. Львовского, И. Е. Прокоповича, Е. Н. Щербакова и др. теоретически обоснованы и разработаны методы многофакторного статистического анализа таких характеристик материала, как пористость, прочность, деформативность, ползучесть, уcaдка, границы микротрещинообразования, параметры твердения и роста прочности бетона во времени. Существенным преимуществом этих методов перед стандартными методами поучения линейных регрессионных моделей является учет реальных физических представлений о бетоне и, рассматриваемых свойствах и процессах в формальном аппарате вероятностно–статистических вычислений. Для получения многофакторных статистических моделей прочности керамзитобетонов в рамках пассивного эксперимента была собрана и обработана исходная информация в раде базы экспериментальных данных различных авторов, исследовавших сопротивление сжатию легких бетонов на различных видах керамзита, песка и вя­жущего, Общая выборка экспериментальных данных составляла 459 опытов, а варьирование влияющих факторов наблюдалось в широких пределах. Вся исходная информация была задана в виде таблицы ТОС(x и y) размерностью 300x12, где у_i –значение прочности керамзитобетона в i–ом опыте; x_ij–значение i –ой объясняющей переменной для j–го опыта (i = 1, 2,...300; j = 1,2...11). Исходя из анализа результатов проведенных исследований, в работе рассмотрено одновременное влияние на прочность керамзитобетона одиннадцати переменных: X₁ – крупность керамзита; Х₂ – расход керамзита; Х₃ – расход це­мента; Х₄ –расход вода; X₅ – расход песка; X₆ – жесткость смеси; X₇ – прочность керамзита в цилиндре; X₈ – активность цемента; Х₉ – активность цемента; Х₁₀ – насыпная плотность песка; Х₁₁ – возраст керамзитобетона к моменту загружения.Наличие тесной статистической связи не позволяет сразу производить регрес-сионный анализ, поэтому переходим к получению независимых переменных методом главных компонент. Определение главных компонент сводится к отысканию собствен­ных значений и собственных векторов корреляционной матрицы. Собственные значения корреляционной матрицы R определяют вклад соответствующей главной компоненты в общую дисперсию. Первые пять главных компонент учитывали приблизительно 80$ общей дисперсии и понижение размерности факторного пространства было достигнуто без потери информативности предсказывающих факторов. Собственные значения и собственные вектора корреляционной матрицы позволяют сформировать матрицу факторных нагру­зок для выделенных компонент. По полученным данным каждая главная компонента была записа­на через «х» объясняющих переменных.Первая главная компонента z₁, объясняющая 23,3% общей дисперсии и взятая для интерпретации, с учетом наиболее значи­мых факторных нагрузок была записана в виде:
Z₁=0.371X₁ – 0,529X₇ – 0_f592X₈ (4)
Первая компонента несет информацию о физико–механических ха­рактеристиках керамзита. Включение в нее фактора крупности керамзи­та X₁ с отрицательным знаком объясняется тем, что при уменьшении фракции керамзита прочность керамзитобетона увеличивается. Вторая компонента Z₂ = 0,626X₄ – 0,66X₃ объясняет 17,2% общей дисперсии и указывает на наличие тесной связи между расходами воды и цемента. Третья компонента Z₃ = 0,705X₁₀ учитывает 14,3% общей дисперсии и в основном несет информацию в насыпной плотности песка. Четвертая компонента Z₄ = 0,577X₂ – 0,48X₅ учитывает 11,1% общей дисперсии и несет информацию о возрасте бетона к моменту загружения. Вклад пятой компоненты составляет 4,8% общей диcперcии и поэтому не учитывался. Затем исходная матрица, результатов наблюдений ТОС (X) записывается через главные компоненты, пересчитанные для каждого опыта и представленные матрицей Т(Z) . Так как выделенные компоненты независимы, по ним получено уравнение множественной рег­рессии:
у =29,2+3,22Z₄ – I,75Z₁ – 1,33Z₅ – 1,71Z₂ (5)
Вычисленной значение F – фактора для полученного уравнения равно F =35,07, множественный коэффициент корреляции R=0,566, а стандартное отклонение остатков a=7,51. Для повышения адекватности модели разобьем исходный массив на области, в каждой из которых имеет смысл существование среднего арифметического .Согласно матрице Т (Z), каждый эксперимент может быть изображен точкой в пятимерном пространстве главных компонент. Для простаты расчета нами были выбраны две компоненты Z₁ и Z₂ , как наиболее информативные (в сумме они учитывают около половины общей дисперсии). Затем каждый опыт был представлен точкой плоскости Z₁, 0 , Z₂ . Результаты испытаний трехсот исследуемых образцов расположены внутри замкнутого многоугольника, границы которо­го лежат в пределах 200 кг/м³< Ц < 650 кг/м³ и 1,5 МПа; и характеризуют диапазоны изменения расхода цемента и прочности пористого заполнителя. Из рисунка 1.1. видно, что отмеченные точки не равномерно заполняют ограниченную область.На плоскости Z₁, 0, Z₂ выделяем области, каждая из которых соответствует определенной величине объемно–насыпного песка: γ≤900кг/м³; 900кг/м³≤ γ < 1300; γ≥1300кг/м³. Границы областей представлены на рис. 2. На нем выделена область, соответствующая керамзитобетону на песке с объемно–насыпной массой f 6 900 кг/м³. Кроме того, в выделенной области отмечены две подобласти: I_т – теплоизоляционные керамзитобетоны и I_к – конструкционные керамзитобетоны плотной структуры классов прочности на сжатие BI5 и выше [21,22,23,24]. После установления границ, для каждой выделенной на рис.1.2. области получены статистические модели, представленные в табл.I.
Полученные характеристики регрессионных моделей достаточно высокие, поэтому модели могут быть использованы в прикладных зада­чах прогнозирования различных параметров прочности и деформаций бетона. Эти уравнения не противоречат имеющимся представлениям о прочности керамзитобетона, однако преимущество данного подхода поучения статистических моделей заключается в том, что он позволяет учесть широкие диапазоны варьирования большого числа факторов.
таблица I.

Индекс объекта	Регрессионные модели объекта:	Характеристики уравнения
I	Y1=29,123 – 11,88Z5–6,286Z1–0,915Z2	R1=0,976 a=1,232
Iт	Y2= 35,2 – 31,14Z5+3,13Z3–23,43X4	R2=0,99 a=0,155
Iк	Y3=29,2–11,34Z5–5,87Z1–0,98Z2	R3=0,98 a=0,148