Практическое задание №1

rang C = 3 < n = 4 , где n- количество переменных
Ранг расширенной матрицы для однородной системы всегда равен рангу основной матрицы, потому что при элементарных преобразованиях для вычисления ранга матрицы при приведении матрицы к ступенчатому виду, столбик или строчку, состоящие из нулей можно отбросить без изменения ранга матрицы. Поэтому, после отбрасывания нулевого столбика, расширенная матрица станет идентична основной, а ранги совпадут.
Т.к. ранг матрицы меньше количества переменных, то система имеет бесконечное множество решений.

Если СЛАУ имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной.

Таким образом, наша СЛАУ неопределенная.

Запишем систему, соответствующую этой матрице:

Из последней системы выражаем переменные.

Из 3-го уравнения находим переменную x₄ :
4/7⋅x₄ = 0
x₄ = 0
Из 2-го уравнения находим переменную x₃ :
14/3⋅x₃=5/3⋅x₄=5/3⋅0=0
x₃=0
Из 1-го уравнения находим переменную x₁ :
3x₁= − 3x₂ − 5x₃ + 2x₄ = − 3x₂ − 5⋅0 + 2⋅0 = − 3x₂
x₁=−x₂


Итак, Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных x∘₁,…,x∘_n , при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество.

Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Например:

1) Примем
x₁ = 0
x₂ = 0
x₃ = 0
x₄ = 0
тогда все 3уравнения СЛАУ тождественны 0.
Это нулевое , тривиальное решение, т.к. x₁= x₂= x₃= x₄=0 сохраняют при подстановке в уравнения СЛАУ тождественные равенства.
2) Примем
x₁ = - 1
x₂ = 1
x₃ = 0
x₄ = 0
3*(- 1) + 3*1 + 5*0 - 2*0 = 0
2*(- 1) + 2*1 + 2*0 - 3*0 = 0
2*(- 1) + 2*1 + 2*0 - 0 = 0

1. 
   Примем значения неизвестных для решения 3 из решения 2 умноженные на коэффициент 2
   

x₁ = (- 1)*2 = - 2
x₂ = 2*1 = 2
x₃ = 0
x₄ = 0
3*(- 2) + 3*2 + 5*0 - 2*0 = 0
2*(- 2) + 2*2 + 2*0 - 3*0 = 0
2*(- 2) + 2*2 + 2*0 - 0 = 0

И эти частные решения, также как и тривиальное, не нарушает тождеств СЛАУ

Таким образом система имеет бесконечное множество решений, значит неопределенна.


Ответ : Исследованная систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) однородна, совместна, имеет rang А = rang C = 3 < n = 4, т.е. система имеет бесконечное множество решений, значит неопределенна.

x₁ = −x₂

x₂ = x₂
x₃ = 0
x₄ = 0
где x₂ € R
Общее решение: где x₂ € R
Нормальная фундаментальная система решений: