Практическое задание №1

Как видно из частных решений системы тождественность уравнений системы сохраняется при любом x₃ € R, значит система имеет бесконечное множество решений, а Общее решение выглядит так:
(x₁=12+27x₃ ; x₂=−6−21x₃ ; x₃ ; x₄=0)/ x₃ € R


Ответ : данная система совместна, неоднородная и неопределенная.
Общее решение:

(x₁=12+27x₃ ; x₂=−6−21x₃ ; x₃ ; x₄=0)/ x₃ € R

Задача 3

Номер варианта задачи определяется с помощью таблицы по первой букве отчества студента.

Таблица. Выбор номера варианта

Буква	А	Б	В	Г	Д	Е, Ё	Ж, З	И	К	Л
№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Буква	М	Н, Ю	О, Я	П	Р, Ч	С, Ш	Т, Щ	У	Ф, Э	Х, Ц
№ вар.	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Задание: Исследовать и найти общее решение системы линейных однородных уравнений.

Номер вар.	Система линейных уравнений
1

РЕШЕНИЕ
Систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называют однородной, если свободные члены уравнений равны 0.



Наша СЛАУ однородна и совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.
Если СЛАУ имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной.


Вычислим ранг расширенной матрицы С системы :

Выпишем матрицу заданной системы:

Вычислим rang C (метод Гаусса)

Метод Гаусса - это метод последовательного ис­ключения неизвестных. Ис­ключение неизвестных осуществляется при помощи следующих преобразований системы:
· умножения уравнения системы на число, отличное от нуля;
· перестановки местами двух уравнений системы;
· прибавления к одному уравнению системы другого, умноженного на какое-либо число.
Процесс исключения неизвестных состоит в переводе исходной системы линейных уравнений в такую равносильную систему, в которой каждое следующее уравнение содержит по крайней мере одним неизвестным меньше, чем предыдущее. Если этот процесс завершён, то решение системы находится следующим образом: из последнего уравнения определяется одно из неизвестных, затем подстановкой в предыдущее уравнение определяется другое неизвестное, далее вновь подстановкой в предшествующее уравнение находится ещё одно неизвестное и т.д., пока не определяются все неизвестные.
N- так обозначается опорный элемент.
Опорный элемент это тот, элементы ниже которого, в данном столбце, нужно сделать нулевыми. Сам опорный элемент не должен быть нулевым.

Чтобы элемент c₂₁=2 сделать нулевым, вычтем из 2-ой строки 1-ю строку, умноженную на 2/3:
R2 = R2 − 2/3⋅R1

Вычисление элементов 2-ой строки

c₂₁ = 2 − 2/3⋅3 = 0

c₂₂ = 2 − 2/3⋅3 = 0
c₂₃ = 8 − 2/3⋅5 = 24/3 – 10/3 = 14/3
c₂₄ = −3 − 2/3⋅(−2) = − 9/3 + 4/3 = −5/3
c₂₅=0−2/3⋅0=0



Чтобы элемент c₃₁ = 2 сделать нулевым, вычтем из 3-ей строки 1-ю строку, умноженную на 2/3:

R3 = R3 − 2/3⋅R1

Вычисление элементов 3-ей строки:

c₃₁ = 2 − 2/3⋅3 = 0

c₃₂ = 2 − 2/3⋅3 = 0
c₃₃ = 4 − 2/3⋅5 = 12/3 − 10/3 = 2/3
c₃₄ = − 1 − 2/3⋅(−2) = − 3/3 + 4/3 = 1/3
c₃₅ = 0 − 2/3⋅0 = 0



Чтобы элемент c₃₃ = 2/3 сделать нулевым, вычтем из 3-ей строки 2-ю строку, умноженную на 1/7:
R3 = R3 − 1/7⋅R2

Вычисление элементов 3-ей строки

c₃₁ = 0 − 1/7⋅0 = 0

c₃₂ = 0 − 1/7⋅0 = 0
c₃₃ = 2/3 − 1/7⋅14/3 = 0
c₃₄ = 1/3 − 1/7⋅ (−5/3) = 4/7
c₃₅ = 0 −1/7⋅0 = 0

Если матрица ступенчатого вида (все элементы ниже главной диагонали нулевые), то ранг матрицы равен числу ненулевых строк.