Практическое задание №1

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования
«Тольяттинский государственный университет»

^(наименование института полностью)

^(^Наименование учебного структурного подразделения^)

^(код и наименование направления подготовки / специальности)

^(направленность (профиль) / специализация)

Практическое задание №_1_

по учебному курсу «Высшая математика. Элементы высшей алгебры и геометрии»

^{(наименование учебного курса)}

Вариант ____ (при наличии)

Обучающегося
	^(И.О. Фамилия)
Группа
Преподаватель
	^(И.О. Фамилия)

Тольятти 202

Задача 1
Номер варианта задачи определяется с помощью таблицы по первой букве фамилии студента.
Таблица. Выбор номера варианта

Буква	А	Б	В	Г	Д	Е, Ё	Ж, З	И	К	Л
№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Буква	М	Н,Ю	О,Я	П	Р,Ч	С,Ш	Т,Щ	У	Ф,Э	Х,Ц
№ вар.	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Задание: Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка.

Условие:
Дана квадратная матрица 3го порядка А = для которой нужно найти собственные значения и собственные векторы. Собственный вектор это ненулевой вектор Х ≠ 0, который называется собственным вектором матрицы А, если существует такое число что Ах = .
называется собственным значением, соответствующим собственному вектору матрицы А. Ах = => Ах – = 0 => (А – = 0.
Х - ненулевой вектор, определяемый тремя координатами Х = _.
Система однородных линейных уравнений будет иметь ненулевое решение при det (A - λE) = 0


Находим собственные значения матрицы:
Характеристическое уравнение :


из определителя этой матрицы найдем
= 0

берем (9-λ)* =0 => (7- λ)*(5- λ)-8=0 =>

35 - 7λ - 5λ + λ² - 8=0 => λ² - 12λ +27 = 0
Характеристическое уравнение приняло вид квадратного уравнения:

λ² - 12λ +27 = 0

Решим его:

D = (-12)² - 4*1*27 = 144-108 = 36,

т.е. D > 0, уравнение имеет два корня:

λ₁ = (12 - (- 6)) / 2 = 9,

λ₂ = (12 + (- 6)) / 2 = 3

Ответ: λ₁ = 9, λ₂ = 3 – и есть два собственных значения матрицы

Находим собственные векторы матрицы:


Для λ ₁= 9 получаем систему уравнений:


= = = 0

- 2х₁ - 4х₂ - 2х₃ = 0

- 2х₁ - 4х₂ - 2х₃ = 0
0 0 0

В первой и второй строке получаются одинаковые коэффициенты линейных

однородных уравнений, поэтому второе лишнее.

Из уравнения - 2х₁ - 4х₂ - 2х₃ = 0, получим третью координату собственного вектора

Х₃= -Х₁-2Х₂,
тогда координаты собственных векторов в общем виде будут:
Х = = где х₁, х₂ € R, получается, что собственных векторов для собственного значения λ₁ = 9 бесконечное множество.
Проверка правильности определения собственного вектора для λ₁ = 9

Например, примаем х₁= 1, а х₂ = -1,тогда х₃ = -1 - 2(-1) = 1.

Тогда вектор Х будет с координатами Х = _, следовательно по условию Ах = должно соблюдаться равенство: = 9 .
Перемножим матрицы левой части:


= = =

Если перемножить правые части предыдущего равенства , то получим такой же результат как при перемножении левой части равенства, что подтверждает правильность нахождения собственного вектора для собственного значения λ ₁= 9 матрицы:

9 =
Для λ ₁= 3 получаем систему уравнений:


= = = 0

2х1 - 2х2 - х3 = 0 -х1 - х2 - х3 =0 3х3=0 с учетом того, что х3=0 получим 4х1 х3= 0 И или х1 = х2

4х₁ - 4х₂ - 2х₃ = 0 поделим на 2
-2х₁ - 2х₂ - 2х₃ =0 все уравнения
6х₃=0

х₃=0 х₃=0

- х₁ + х₂ = 0 или - х₁ + х₂ = 0
х₁ – х₂ = 0 х₁ – х₂ = 0 х₁ = х₂

тогда координаты собственных векторов в общем виде будут:

Х = ( х₁; х₂; х₃ = ( х₁; х₁; 0 , где х₁; х₂ € R, но х₁ ≠ 0 ; х₂ ≠ 0

Так как х₃ = 0 в любом случае, то равенство 0 х₁ и х₂ не возможно, потому что Х ≠ 0 ( определение собственного вектора матрицы).

Т.е. собственных векторов для собственного значения λ₁ = 3 бесконечное множество.

Проверка правильности определения собственного вектора для λ₁ = 3 матрицы

Например, примем х₁= 1, а х₂ = 1,тогда х₃ = 0

Тогда вектор Х будет с координатами Х = _, следовательно, по условию
Ах = должно соблюдаться равенство: = 3 .
Перемножим матрицы левой части:
= =

Если перемножить правые части предыдущего равенства , то получим такой же результат как при перемножении левой части равенства, что подтверждает правильность нахождения собственного вектора для собственного значения λ ₁= 3матрицы А:

=
ОТВЕТ: собственными значениями матрицы третьего порядка являются:
λ ₁= 9 и соответствующий ему собственный вектор Х = _, а также λ ₂=3 и соответствующий ему собственный вектор Х = _.


Задача 2
Номер варианта задачи определяется с помощью таблицы по первой букве имени студента.
Таблица. Выбор номера варианта

Буква	А	Б	В	Г	Д	Е,Ё	Ж,З	И	К	Л
№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Буква	М	Н, Ю	О, Я	П	Р, Ч	С, Ш	Т, Щ	У	Ф, Э	Х, Ц
№ вар.	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Задание: Доказать совместность системы и решить её тремя способами: по формулам Крамера, методом Гаусса и средствами матричного исчисления.

12

Решение

A - это основная матрица системы,

B - матрица-столбец свободных членов,
C - расширенная матрица системы :



Доказываем совместность

СЛАУ ( систему линейных алгебраических уравнений) называют совместной если она имеет решение.

Для исследования совместности системы используем теорему Кронекера-Капелли.


Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

Найдём ранги основной матрицы системы и её расширенной матрицы.

Вычисление ранга основной матрицы системы :
rangA=3

Вычисление rangA (методом Гаусса)

Если матрица ступенчатого вида (все элементы ниже главной диагонали нулевые), то ранг матрицы равен числу ненулевых строк.

Для преобразования матрицы к ступенчатому виду будем использовать такие элементарные преобразования:

1) перестановка местами любых двух строк матрицы;
2) прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на ненулевое число.


1 - так обозначается опорный элемент. Опорный элемент это тот, элементы ниже которого, в данном столбце, нужно сделать нулевыми. Сам опорный элемент не должен быть нулевым.


Вычисление элементов 2-ой строки

a21=2−2⋅1=0

a22=3−2⋅1=1
a23=9−2⋅(−6)=21
a24=5−2⋅(−4)=13
Чтобы элемент a₂₁ = 2 сделать нулевым, вычтем из 2-ой строки 1-ю строку, умноженную на 2 : R2=R2−2⋅R1. Например: Из a₂₁ = 2 вычтем (a₁₁ = 1)*2=2, т.е. 2 – 2 = 0;
или из a₂₂ = 3 вычтем (a₁₂ = 1)*2=2, т.е. 3 – 2 = 1;
или из a₂₃ = 9 вычтем (a₁₃ = - 6) * 2 = - 12, т.е. 9 – ( - 12) = 21 и.т.д

Чтобы элемент a31=3 сделать нулевым, вычтем из 3-ей строки 1-ю строку, умноженную на 3: R3=R3−3⋅R1


Вычисление элементов 3-ей строки

Чтобы элемент a31=3 сделать нулевым, вычтем из 3-ей строки 1-ю строку, умноженную на 3 : R3=R3−3⋅R1

a31=3−3⋅1=0
a32=4−3⋅1=1
a33=3−3⋅(−6)=21
a34=−2−3⋅(−4)=10

Чтобы элемент a32=1 сделать нулевым, вычтем из 3-ей строки 2-ю строку, умноженную на 1 : R3=R3−R2

a31=0−1⋅0=0
a32=1−1⋅1=0
a33=21−1⋅21=0
a34=10−1⋅13=−3

Матрица ступенчатого вида, поэтому её ранг равен количеству ненулевых строк.

Вычисление ранга расширенной матрицы системы :

rangC=3

Вычисление rangC (метод Гаусса)
Если матрица ступенчатого вида (все элементы ниже главной диагонали нулевые), то ранг матрицы равен числу ненулевых строк.

Опорный элемент это тот, элементы ниже которого, в данном столбце, нужно сделать нулевыми. Сам опорный элемент не должен быть нулевым.

Чтобы элемент c21=2 сделать нулевым, вычтем из 2-ой строки 1-ю строку, умноженную на 2 : R2=R2−2⋅R1

Вычисление элементов 2-ой строки

c21=2−2⋅1=0

c22=3−2⋅1=1
c23=9−2⋅(−6)=21
c24=5−2⋅(−4)=13
c25=6−2⋅6=−6

Чтобы элемент c31=3 сделать нулевым, вычтем из 3-ей строки 1-ю строку, умноженную на 3 : R3=R3−3⋅R1

Вычисление элементов 3-ей строки

c31=3−3⋅1=0

c32=4−3⋅1=1
c33=3−3⋅(−6)=21
c34=−2−3⋅(−4)=10
c35=12−3⋅6=−6


Вычисление элементов 3-ей строки

c31=0−1⋅0=0

c32=1−1⋅1=0
c33=21−1⋅21=0
c34=10−1⋅13=−3
c35=−6−1⋅(−6)=0

Матрица ступенчатого вида, поэтому её ранг равен количеству ненулевых строк.

Т.к. ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, то данная система совместна, т.е. имеет решение.