При с концами в точках и отрезком оси, а характеристический треугольник, ограниченный при отрезком и двумя характеристиками уравнения 3

Доказательство. В силу (3.5), (3.18) и (3.19) в области регулярное решение уравнения
(3.43)
удовлетворяющее условиям (3.30) и
(3.44)
выражается формулой

(3.45)
где функция Грина задачи Дирихле [29] для уравнения , удовлетворяющая однородному условию (3.30) и (3.44), а функция, гармоническая в области по координатам обеих точек и , а определяется из (3.28).
В силу (3.18) из (3.8) находим
(3.46)
Теперь находим неизвестный функцию при Для этого реализуем условие (3.46) в (3.45) с учетом (3.4) и (3.5), получим


(3.47)


(3.48)
где
Интегралы, участвующие в равенстве (3.47) и (3.48) интегрируем по частям, имеем


(3.49)


(3.50)
где

В формулах (3.49), (3.50) переходим к пределу (см. (3.46)), а затем принимая формулы предельного перехода[29],[34]:
(3.51)
(3.52)
получим сингулярное интегральное уравнение относительно неизвестной функции при

(3.53)
где













а функция определяется из (3.28).
Переходя к вопросу о разрешимости сингулярного интегрального уравнения (3.53), прежде всего, заметим, что оно является уравнением нормального типа [48], т.е.

_{Его индекс} равен нулю в класcе [48], [60, стр.160], которое ограничено при , а при неограниченно. Ядро имеет слабую особенность[29].
Теперь покажем, что индекс уравнения (3.53) равен нулю в классе .
Рассмотрим функцию[48]:
(3.54)
где
Из (3.54) следует, что концы контура являются не особенными узлами. Вычислим индекс уравнения (3.53). Для этого найдем действительные числа по формуле[48]:
(3.55)
здесь концы контура, причем нижний знак берется при а верхний знак при
Вычислим
(3.56)
_{Отсюда учитывая, что}





из (3.56) имеем
(3.57)
1. Пусть тогда из (3.55) с учетом (3.57) находим

где . Выберем так, чтобы,
следовательно
2. Пусть тогда из (3.55) с учетом (3.57) имеем . Выберем так, чтобы, следовательно
_{Отсюда, по определению индекса}[48] вычисляя индекс класса , имеем
(3.58)
Индекс уравнения (3.53) равен нулю в класcе . Что и требовалось доказать.
Аналогично как § 1.1, гл.1 сингулярное интегральное уравнение (3.53) известным методом регуляризации Карлемана – Векуа [48] сведем к эквивалентному уравнению Фредгольма второго рода относительно , безусловная разрешимость которого следует из единственности решения задачи (см. теоремы 3.1).
Из уравнения (3.53) находим функции , а затем, подставляя ее в (3.32) или (3.45), полностью определяем функцию в области .
Теперь в области решаем задачу

Ее решение можно записать в виде[34]:
(3.59)
где
.
Тогда в силу (3.32) и (3.45) из (3.59) соответственно получим решение задачи и Дирихле в области .