Проф. Каримов А. С

2.11. Занжир граф-схемасининг контур тенгламалари. Контурлар матрицаси

ар šандай мураккаб занжир учун унинг šаторларига œрнатилган кучланишларга оид Кирхгофнинг иккинчи šонунини šœллар эканмиз, занжирдаги мувозанат тœри акс этилиши учун тузилган тенгламалар œзаро мустаšил бœлиши керак. Бу эса, œз навбатида, танланган контурларнинг œзаро мустаšил бœлишини талаб šилади. Маълумки, бундай талабни бажариш учун танланган контурлар ќеч бœлмаганда œзаро битта янги тармоššа фарšланиши шарт. Иккинчи томондан, биз яхши биламизки, таќлилга керак тенгламалар сони номаълум токлар сонига, яъни тармоšлар сонига тенг бœлиши керак. Агар занжирнинг тугунлар сони q ва тармоšлар сони р бœлса, Кирхгофнинг биринчи šонуни асосида (q - 1) тенглама, иккинчи šонуни асосида эса [р -(q - 1)] тенглама тузилади.

Ю
šорида айтиб œтилган фикрга кœра, мазкур масала занжирнинг граф-схемасига нисбатан жуда осон ечилади. Ќаšиšатдан шундай эканлиги 2.14-расмдаги занжирнинг 2.15-расмдаги граф-схемасидан кœриниб турибди: графнинг дарахти šандай тузилган бœлмасин, у очиš контур бœлиб šолаверади. Демак, бу дарахтнинг (ёки унинг тармоšлар šисмини) бирор граф алоšа тармои билан беркитса, дарќол мустаšил контур ташкил топади.
Буни 2.17-расмда келтирилган мустаšил графли контурлардан кœрса бœлади. 2.17-а расм 1-нчи мустаšил контур дарахтининг 2,3 ва 4- тармоšларига 1-граф алоšа тармои šœшилиши натижасида ќосил бœлган; расм 2.17,б 5- мустаšил контур дарахтининг 3-тармои ва графнинг 5- алоšа тармои œртасида ќосил бœлган; 2.17-в расмдаги 6- мустаšил контур дарахтининг 8,2 ва 3- тармоšларини 6- алоšа тармои билан беркитиш натижасида ва 2.17-г расмдаги 7- мустаšил контур тœла дарахтга 7-алоšа тармоš šœшилиши натижасида ќосил бœлган.
Шундай šилиб, биз кœриб чиšаётган занжир учун (2.14-расм) n = p - (q - 1) = 8 - ( 5 - 1 ) = 4 та мустаšил контурга нисбатан Кирхгофнинг иккинчи šонуни асосида тенгламалар тузиш мумкин. Энди граф-схемалар учун контур тенгламалар тузайлик. Бу тенгламалар 1,5,6 ва 7- контурларга тегишлидир. Танланган контур ичига кирган ихтиёрий “к“- тармоšнинг кучланишини u_k деб оламиз ва унинг ишорасини айланиш йœналишига бођлаймиз. Мазкур йœналиш эса алоšа тармоšнинг йœналишига мос келади, яъни ихтиёрий тармоš кучланиши тарзда ёзилиши лозим бœлади (бу ерда b_sk = 1, ёки 0; агар “к“- тармоš “s“- контурга кирмаса). Натижада, Кирхгофнинг иккинчи šонуни граф-схема учун

шаклида ёзилади. Масалан, 1- контур учун (2.17-а расм)

Бешинчи контур учун (2.17-б расм):

Олтинчи контур учун (2.17-в расм)

Еттинчи контур учун (2.17-г расм):

Энди коэффициентлардан шундай жадвал-матрица В тузамизки, унинг šаторлар сони мустаšил контурлар сонига, устунлар сони эса - тармоšлар сонига тенг бœлади. Жадвал катакларидаги сонлар +1,-1 ва 0 бœлиши мумкин: биринчи ќолда “к“- тармоšдаги йœналиш “s“- контур йœналишига мос, иккинчи ќолда - улар бир-бирига тескари ва учинчи ќолда “к“- тармоš“s“- контурга кирмаган бœлади.
Бундай матрица - к о н т у р л а р м а т р и ц а с и деб аталади.
Агар тармоšлардаги кучланишларни бир устун ва “Р“ šатордан иборат матрица шаклида ифодаламоšчи бœлсак, унда
, (k=1,2,..., p)
шаклли матрицанинг тартиби (pх1) деб ќисобланади. Шундай šилиб, ихтиёрий контур (šатор) учун тузиладиган контур тенгламаси матрицавий кœпайтма шаклида šуйидагидек бœлади:

вектор катор (Рх1) вектор-устун (Рх1) матрица (1х1).
Мазкур тенглама ихтиёрий мураккабликка эга бœлган граф-схема учун - алоšали структурали матрица тузишда ишлатилиши мумкин.
Натижавий матрица умумий ќолда В_й кœринишда ёзилади. 2.14-расмдаги схема учун šуйидагича ифодаланади:

Бу ердаги матрица кœпайтмасининг ќар бир šатори тегишли контурнинг Кирхгофнинг иккинчи šонуни асосида ёзилган тенгламасини акс эттиради. Яна бир марта шуни эслатиб œтамизки, занжирдаги э.ю.к ларни тегишли тармоšнинг умумий кучланиши œз ичига олган: