Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет физико-математических
и естественных наук
Направление подготовки Магистерская программа
Кафедра
«Информатика и методика обучения информатике и математике»
44.04.01«Педагогическое образование»
«Математическое образование»

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ
на тему:
«Эквивалентность систем аксиом Александрова и Вейля евклидовой геометрии»


Студент Бородина Д.П.
(подпись, дата)


Научный руководитель Паньженский В.И.
(подпись, дата)


Нормоконтролѐр Шарапова Н.Н.
(подпись, дата)

Рецензент
профессор, доктор технических наук, заведующий кафедрой «Математика и математическое моделирование» ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства»

(подпись, дата)
Данилов А.М.

Работа допущена к защите (протокол заседания кафедры от № )


Заведующий кафедрой Родионов М.А.
(подпись)
Работа защищена с отметкой (протокол заседания ГЭК от № )



(подпись)
Секретарь ГЭК Шарапова Н.Н.

Пенза 2017 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД 5
ГЛАВА 2. СИСТЕМА АКСИОМ А.Д.АЛЕКСАНДРОВА ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 10

1. 
   Основные положения 10
   
2. 
   Линейные аксиомы 12
   
3. 
   Плоскостные аксиомы 16
   
4. 
   Аксиоматика фигуры 20
   

ГЛАВА 3. СИСТЕМА АКСИОМ ВЕЙЛЯ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 22

1. 
   Аксиомы сложения векторов 22
   
2. 
   Аксиомы умножения вектора на действительное число 24
   
3. 
   Аксиомы размерности 26
   
4. 
   Аксиомы скалярного произведения векторов 27
   
5. 
   Аксиомы откладывания векторов от точки 28
   
6. 
   Непротиворечивости системы аксиом Вейля 29
   

ГЛАВА 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СИСТЕМ АКСИОМ АЛЕКСАНДРОВА И ВЕЙЛЯ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ 32

1. 
   Система аксиом Вейля в геометрии Александрова 32
   
2. 
   Система аксиом Александрова в геометрии Вейля 42
   
3. 
   Эквивалентность систем аксиом 46
   

ГЛАВА 5. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРОВЕДЕНИЮ ПЕРВЫХ УРОКОВ ПЛАНИМЕТРИИ 48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 70
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 71
ПРИЛОЖЕНИЕ 72

ВВЕДЕНИЕ

Возникновение аксиоматического метода связано с именем Пифагора, но впервые аксиоматический метод применил Евклид в своей книге «Начала» в III в.до н.э. Книга Евклида «Начала» построены определенным образом: сначала даются основные понятия и перечисляются основные аксиомы, затем идут предложения (теоремы), которые Евклид стремился доказать по правилам логики на основании принятых постулатов и аксиом.
Всякая аксиоматическая теория строится по следующей схеме:

1. 
   Перечисляются неопределяемые понятия, принимаемые без определения, и неопределяемые отношения.
   
2. 
   Дается список аксиом – исходных предложений теории, принимаемых без доказательства, в которых выражены свойства неопределяемых отношений.
   
3. 
   Все другие предложения теории доказываются чисто логическим путем с помощью аксиом и ранее доказанных теорем.
   
4. 
   Все понятия, не являющиеся основными, определяются через основные и ранее введенные понятия.
   

Существует различные системы аксиом евклидовой геометрии: Д.Гильберта, А.Д.Александрова, А.В.Погорелова, Г.Вейля и др.
Система аксиом Г.Вейля строится главным образом на понятиях точка и вектор. В начале 20 века Г.Вейль предложил так называемое «векторное» обоснование геометрии.[7].
Система аксиом А.Д.Александрова является более современной. Данная система аксиом строится на таких основных объектах как точки и отрезки, и основных отношениях – точка служит концом отрезка, точка лежит на отрезке, два отрезка равны друг другу.[1]
Аксиоматические теории называются эквивалентными, если теории двух этих систем аксиом совпадают.[12]
Цель исследования – доказательство эквивалентности систем аксиом Александрова и Вейля евклидовой геометрии.
Актуальность данной проблемы следует из необходимости понимания построения геометрии. Учитель математики должен знать сущность аксиоматического метода, а также различные варианты построения евклидовой геометрии на базе различных систем аксиом в школе.
Для достижение поставленной цели, необходимо решение следующих задач:

1. 
   рассмотреть системы аксиом Александрова и Вейля евклидовой геометрии;
   
2. 
   провести сравнительный анализ двух классических систем аксиом евклидовой геометрии;
   
3. 
   доказать эквивалентность систем аксиом Александрова и Вейля евклидовой геометрии;
   
4. 
   разработать методические рекомендации (технологические карты уроков) по геометрии для обучающихся 7 класса по темам: «Начальные геометрические сведения», «Прямая и отрезок», «Луч и угол», «Сравнение отрезков и углов».
   

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения.