Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

Аксиомы умножения вектора на действительное число

Вторая группа аксиом описывает отображение называемое операцией умножения вектора на действительное число. Каждому вектору и числу однозначно сопоставляется вектор ), называемый произведением вектора на число и обозначаемый символом .
Операция умножения вектора на действительное число удовлетвoряeт следующим аксиомам:



Операция дистрибутивна относительно сложения векторов: для любых векторов , и любого действительного числа справедливо равенство
то есть







. Операция дистрибутивна относительно сложения чисел: для любого вектора и любых действительных чисел , справедливо равенство

то есть







Операция ассоциативна: для любого вектора и любых действительных чисел выполняется равенство

то есть





Операция умножения вектора на единицу не изменяет вектора

то есть

Бинарная операция умножения вектора на число определяет тернарное отношение : тройка находится в отношении , если

Аксиомы первых двух групп I—II позволяют определить понятие векторного пространства.
Определение. Векторным пространством над полем действительных чисел R называется множество V, для элементов (векторов) которого ^{определены операции сложения векторов и умножения} вектора на действительное число так, что выполняется требования аксиом I-II.
Векторное пространство является математической структурой: c базисным множеством V и операциями
Напомним понятие изоморфизма векторных пространств V и V'.
Определение. Взаимно однозначное отображение векторного пространства V на векторное пространство называется изоморфизмом, если онo переводит сумму любых двух векторов , и ^{произведение вектора на число λ соответственно в сумму и} произведение т.e. если для любых векторов , и любого числа

Определение. Векторные пространства V и V' называются изоморфными векторными пространства, если существует по крайней мере один изоморфизм V на V'.

Из определения изоморфизма следует, что

1. 
   тождественное отображение является изоморфизмом;
   
2. 
   отображение, обратное изомоpфизмy, является изоморфизмом;
   
3. 
   если — изоморфизмы, то отображение пространства V на пространство V" также является изоморфизмом. Значит, отношение изоморфизма является отношением эквивалентности (т, е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно).
   

3.