Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

ГЛАВА 3. СИСТЕМА АКСИОМ ВЕЙЛЯ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Герман Вейль (9 ноября 1885 г – 8 декабря 1955 г) – немецкий математик и физик-теоретик. Получил в 1927 году премию Лобачевского. Окончил Гѐттингенской университет. В 1913-1930 гг. являлся профессором Цюрихского политехнического института, с 1930-1933 гг. – профессором Геттинского университета. Наиболее значительные работы Г.Вейля - работы по теории непрерывных групп и их представлений с применениями к проблемам геометрии и физики.[7]
В 1918 г. Г.Вейлем была предложена точечно-векторная аксиоматика евклидовой геометрии.
Основные объекты:

1. 
   точки;
   
2. 
   векторы.
   

Основные отношения системы аксиом:

1. 
   – «сложение векторов»,
   
2. 
   – «умножение вектора на число»,
   
3. 
   – «скалярное умножение векторов»,
   
4. 
   «откладывание вектора от точки».
   

Аксиомы Вейля распределяются на пять групп. Совокупности всех точек и векторов обозначаются соответственно символами T и V.

1. Аксиомы сложения векторов

Первая группа аксиом описывает отображение называемое операцией сложения векторов, которая позволяет поставить в соответствие любым двум векторам и третий вектор называемый суммой ^{векторов и , и обозначаемый символом .}
Операция сложения векторов удовлетворяет следующим aкcиoмaм:
. Сложение векторов коммутативно: для любых двух векторов и справедливо равенство

то есть






Сложение векторов ассоциативно: для любых трех векторов справедливо равенство












Существует такой вектор , что для любого вектора

то есть

Для любого вектора существует такой вектор , что

то есть

^.

Вектор называется нулевым, а – вектором, противоположным вектору и обозначается

Аксиомы определяют на V структуру абелевой группы.
Бинарная операция сложения векторов определяет тернарное отношение следующим образом: тройка векторов находится в отношении , ^если

2.