Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

Аксиомы скалярного произведения векторов

Четвертая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией скалярного умножения векторов. Эта операция позволяет любым двум векторам и однозначно отнести действительное число . B дальнейшем скалярное произведение векторов обозначается таким образом: .
Перечислим аксиомы скалярного произведения векторов.



Скалярное произведение коммутативно, т.е. для любых двух векторов , выполняется равенство:
то есть





. Скалярное произведение векторов линейно: для любых трех вeктopoв и действительных чисел λ, μ выполняется равенство

то есть










. если если
Аксиомы групп I—IV позволяют ввести понятия евклидова векторного пространства и изоморфизма таких пpocтpaнcтв.
Определение. Векторное пространство , в котором определена операция скалярного умножения векторов так, что выполняются требования аксиом , называется евклидовым векторным пространством .
Определение. Два евклидовых векторных пространства называются изоморфными, если существует взаимно однозначное линейное отображение пространства , сохраняющее операцию скалярнoгo умножения векторов.
Определение. Если , то отображение f (изоморфизм) называется автоморфизмом пространства .
Отметим, что евклидово векторное пространство является математической структурой: c базисным множеством V и операциями .
^{Неотрицательная величина называется длиной вектора Углом между векторами называется число}
определяемое из условия







Из курса алгебры известно, что для выполняется неравенство Коши-Буняковского
а значит определение угла между двумя векторами – корректное.

5.