Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

ГЛАВА 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СИСТЕМ АКСИОМ АЛЕКСАНДРОВА И ВЕЙЛЯ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. Система аксиом Вейля в геометрии Александрова

Пусть геометрия построена на базисе систем аксиом Александрова.
Покажем, что все утверждения системы аксиом Вейля являются теоремами.
Аксиоматика Вейля в основном векторная, и лишь в последней группе аксиом речь идет о точках и векторах.
Основными объектами в аксиоматике Александрова являются точки и отрезки. Вектор, являющийся основным объектом аксиоматики Г.Вейля, определим следующим образом.
Рассмотрим произвольный отрезок. Его концы называются также граничными точками отрезка. На отрезке можно указать 2 направления: от одной граничной точки к другой и наоборот. Чтобы выбрать одно из направлений, одну граничную точку отрезка назовем началом отрезка, а другую – концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу. Таким образом, дадим определение вектора.
Определение. Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется вектором.
Введем несколько определений, необходимых нам для дальнейшего рассмотрения.
Определение 1. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат или на одной прямой, или на параллельных прямых. Ненулевой вектор коллинеарен любому вектору.[4]
Определение. Два ненулевых вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и одинаково направлены.[4]
Определение. Два ненулевых вектора называются противоположно направленными, если она коллинеарны и направлены в разные стороны.[4]
Введем основные отношения.
1) – «сложение векторов».
Пусть и – два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор , равный Затем от точки В отложим вектор , равный вектору рис.15).

Рис. 15 Сумма векторов Вектор называется суммой векторов
– «умножение вектора на число».
Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор ^{, длина которого равна , причем векторы и сонаправлены при} и противоположно направлены при

3. 
   – «скалярное умножение векторов».
   

3. 
   Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. – «откладывание вектора от точки».
   

Пусть точка А – начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А (рис.16). От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.

Рис. 16 Откладывание вектора от точки Рассмотрим утверждения системы аксиом Вейля.
Теорема 1. Для любых двух векторов и выполняется равенство

то есть сложение векторов коммутативно.

Доказательство.

1. 
   Пусть даны два не коллинеарных вектора и . От произвольной точки А отложим векторы . Построим на этих векторах параллелограмм (рис.17).
   

Рис. 17 Коммутативность сложения векторов ^{Отсюда следует, что – сложение коммутативно.}

2. 
   Пусть даны два коллинеарных вектора Тогда векторы лежат на одной прямой (рис.18).
   

Рис. 18 (а) Рис. 18 (б)

Рис. 18 Коллинеарные векторы
На той же прямой лежат векторы Надо доказать, что точки совпадают. Если векторы и сонаправлены, то это следует из сложения отрезков (рис.18, а). А если векторы и направлены противоположно, то из вычитания отрезков (рис.18, б).
Теорема 2. Для любых трех векторов справедливо равенство ^{, т.е. сложение векторов ассоциативно.}
Доказательство.
Пусть даны векторы (рис.19).

Рис. 19 Заданные векторы

Отложим от произвольной точки А вектор а от точки В – вектор от точки С – вектор (рис.20).


















Рис. 20 Ассоциативность сложения векторов Применим правило сложения векторов:


^{Отсюда следует, что}
Теорема 3. Для любого вектора существует такой вектор , что

Доказательство.

Вектор - нулевой вектор. Нулевой вектор – это вектор, длина которого считается равной 0:
Пусть даны векторы Отложим от точки А вектор От точки В отложим вектор . Т.к. длина вектора , то точки В и С совпадут ^{(рис.21). Значит, .}

Рис. 21 Откладывание нулевого вектора

Теорема 4. Для любого вектора существует такой противоположный вектор , что
Доказательство.
Пусть даны два противоположных вектора . Отложим от точки А вектор а от точки В отложим вектор . Т.к. векторы - противоположны, то точки и совпадут (рис.22).

Рис. 22 Сумма противоположных векторов

Таким образом, откладывая вектор от точки А мы снова вернулись в ^{точку А. Следовательно, длина вектора}
Проведенные выше рассуждения, позволяют сказать, что аксиомы
сложения векторов, рассматриваемые в системе аксиом Г.Вейля выполняются в геометрии, построенной на базисе систем аксиом А.Д.Александрова.



Теорема 5. Для любых векторов и действительного числа справедливо равенство
то есть операция дистрибутивна относительно сложения векторов.
Доказательство.
Пусть даны два вектора и действительное число λ. Отложим от точки О вектор , от точки – вектор . По правилу сложению,
^{Т.к. λ – действительное число, то}
По правилу сложения векторов, ^.
Рассмотрим (рис.23).

Рис. 23 Дистрибутивность относительно сложения векторов

Эти треугольники подобны с коэффициентом подобия λ. Таким образом,





Теорема 6. Для любого вектора и любых действительных чисел справедливо равенство

Доказательство. Пусть одного знака. Тогда,

Пусть имеют разные знаки. Тогда,

В обоих случаях длины векторов правой и левой части равны. Векторы ^{правой и левой части имеют одно направление. Оно}

совпадает с направление при и противоположно при ^{Следовательно,}


Теорема 7. Для любого вектора и любых действительных чисел справедливо равенство
Доказательство. Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, имеют одинаковую длину .

1. 
   Если , то векторы в правой и левой частях доказываемого равенства нулевые и равны друг другу.
   
2. 
   Если числа одного знака, то векторы коллинеарны вектору и имеют с ним одинаковое направление.
   
3. 
   Если числа имеют разные знаки, то векторы противоположны вектору
   

Следовательно,


Теорема 8. Для любого вектора умножение вектора на единицу не изменяет вектора
Доказательство. Вытекает из определения произведения вектора на число

Таким образом, аксиомы умножения вектора на действительное число доказаны.

Теорема 9. Существует n линейно независимых векторов.
Доказательство. Докажем теорему для n=2. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они не коллинеарны.
Возьмем два не коллинеарных вектора (рис.24)

Рис. 24 Коллинеарные вектора

Составим линейную комбинацию этих векторов:






Так как векторы не коллинеарны, то, по определению линейно независимых векторов,
Предположим, что Тогда,



заменим , тогда

Значит, – линейно зависимы. Получаем противоречие.

^{Теорема 10. Всякая система, содержащая вектор, линейно зависима.}
Доказательство. Рассмотрим случай при n=2. Получаем, что всякая система, содержащая 3 вектора, линейно зависима.

Возьмем три вектора Вектор можно представить в виде линейной комбинации двух остальных векторов:

Так как перед можно поставить коэффициент то получаем

а значит система векторов линейно зависима.

Теорема 11. Для любых двух векторов выполняется равенство

то есть скалярное произведение векторов коммутативно.

Доказательство. По определению

Очевидно, что В силу коммутативность умножения действительных чисел . Следовательно,

Теорема 12. Для любых трех векторов и действительных чисел λ, μ выполняется равенство
то есть скалярное произведение векторов линейно.
Теорема 13. Для любого вектора выполняются равенства: , если ;
Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. 
   Если , то по определению скалярного произведения векторов:
   

2. 
   Если , то опираясь снова на определение скалярного произведения векторов:
   

Таким образом, аксиомы скалярного произведения векторов Вейля выполняются в геометрии, построенной на базисе систем аксиом Александрова.
Теорема 14. Для любой точки и любых векторов ^{выполняется равенство:}
Доказательство. Пусть даны два произвольных вектора (рис.25) и точка А.

Рис. 25 Заданные вектора

^{Построим левую часть равенства Отложим от} точки А вектор получим точку В. Теперь отложим от точки В вектор , получим точку С. По правилу сложения получим вектор (рис.26).

Рис. 26 Сложение векторов
^{Теперь построим правую часть равенства
Сначала выполним сложение векторов По правилу сложения векторов} получим вектор Отложим данный вектор от точки А. Получим вектор равный
Значит,








^{Следовательно,
Теорема 15. Для любой точке выполняется равенство:}
Доказательство. Возьмем любую точку А. Отложим от нее нулевой вектор, длина которого равна 0. Откладывая вектор, длина которого равна нулю ^{придем в ту же точку А. Следовательно, равенство выполняется.}
Теорема 16. Для любых двух точек существует единственный ^{вектор такой, что}
Доказательство. Пусть даны произвольные точки А и В. Так как через 2 точки можно провести только один отрезок, то соединив точки А и В и задав ^{ему направление, получим единственный вектор такой, что}
В ходе наших рассуждений, мы доказали, что, приняв за базисную систему аксиом Александрова, все утверждения системы аксиом Вейля выполняются.

2.