Программа Кафедра «Информатика и методика обучения информатике и математике»

Система аксиом Александрова в геометрии Вейля

Пусть теперь геометрия построена на базисе систем аксиом Вейля. Покажем, что все утверждения системы аксиом Александрова являются теоремами.
Для доказательства системы аксиом дадим некоторые определения. Поскольку система аксиом Г.Вейля строится на основных понятиях точка и вектор, а система аксиом А.Александрова – точка и отрезок, то введем понятие отрезка.
Пусть А и В – две точки.





Определение 1. Прямой называется множество всех точек таких, что
то есть параметр изменяется от



Определение 2. Отрезком АВ прямой называется множество всех точек таких, что
то есть при получаем концы отрезка – точки А и В, а при – внутренние точки отрезка.[6]
Рассмотрим утверждения, сформулированные в системе аксиом Александрова.
Теорема 1 (аксиома существования). У каждого отрезка два и только два конца.
Доказательство. Доказательство следует из определения отрезка. При заданном значении параметра получаем один конец отрезка, а при – второй.
Теорема 2 (аксиома проведения отрезка). Любые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.
Теорема 3 (аксиома деления отрезка). Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка, т.е. если С лежит на отрезке АВ, то отрезки АС, ВС образуют вместе отрезок АВ и не имеют общих точек кроме С.
Доказательство. Из определения отрезка точка С лежит в промежутке ^{Получаем два промежутка: от точки А до точки С, где и
от точки С до точки B, где .
Тогда, AB – отрезок, где , что опирается на определение} отрезка.
Теорема 4 (аксиома соединения отрезков). Если точка С лежит на отрезке АВ, а В на CD, то отрезки АВ, CD образуют отрезок AD. (рис.27)

Рис. 27 Соединение отрезков

Доказательство. Пусть даны отрезки АВ и СD. Опираясь на определение отрезка, и теорему 3 получаем, что точка С лежит на отрезке АВ, а точка В на отрезке СD. Тогда,

т.к. CB – это одна и та же часть отрезка, то

Теорема 5 (аксиома откладывания отрезка). При любых отрезках АВ, MN, можно отложить вдоль АВ отрезок АС, равный MN, и притом только один.
Доказательство. Возможны два случая:

1. 
   Точка С лежит за точкой В отрезка АВ. Это возможно по теореме А.Д.Александрова о продолжении отрезка, которая гласит, что каждый отрезок можно продолжить за любой из концов на отрезок, равный любому данному [1, стр.46]. Тогда, если даны отрезки АВ и MN, причем MN длинее AB, то по теореме, сформулированной выше можно продлить за точку B на длину, необходимую для того, чтобы отрезок АС стал равен MN.
   
2. 
   Точка С лежит внутри отрезка АВ. Тогда, C находится в промежутке Значит, по определению, если у отрезка MN концы находятся в точках и то можно отложить вдоль АВ отрезок, при котором
   

следовательно
Теорема 6 (аксиома сравнения). Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.
Доказательство. Пусть даны три отрезка , причем отрезок АВ равен CD, отрезок СD равен отрезку MN. Значит, из определения отрезка,

тогда

Теорема 7 (аксиома сложения). Если С на АВ, и то

Введем координатную прямую. Каждой точке на прямой соответствует ее координата , причем и (рис.28).

Рис. 28 Координатная прямая

Получаем взаимно однозначное соответствие между точками прямой и числами
Теорема 8 (аксиома Архимеда). При любых отрезках можно отложить вдоль отрезки, равные , столько раз, что они «покроют» .


Доказательство. Перефразируем это утверждение для положительных Тогда, оно сведется к существованию такого натурального что
Это неравенство оказывается равносильно:



Так как речь идет о положительных числах и натуральном числе то всегда найдется такое натуральное n, которое больше частного , а значит теорема выполняется для следовательно выполняется и для отрезков.
Теорема 9 (аксиома непрерывности). Если имеется бесконечная
последовательность вложенных отрезков, т. е. если то существует точка, общая всем этим отрезкам.
Доказательство. Рассмотрим отрезок АВ. Пусть на этом отрезке точки и неограниченно сближаются. Тогда, отрезки стягиваются. В итоге, стягиваясь, отрезки максимально приблизятся к общей точке. Если этой точки нет, то отрезок АВ будет иметь точку разрыва и не будет непрерывным. Это противоречит определению отрезка. Значит, такая точка существует.
Таким образом, линейные аксиомы, сформулированные Александровым, доказаны в аксиоматике, построенной на базисе аксиом Вейля евклидовой геометрии.
Перейдем к плоскостным аксиомам.
Будем считать два отрезка на плоскости равными, если существует движение, переводящее один отрезок в другой.
Теорема 10 (аксиома деления плоскости). По отношению к каждому данному отрезку все точки, не лежащие ни на каком отрезке, содержащем , делятся на два класса: в один класс входят точки, лежащие с одной стороны от , а в другой – точки, лежащие с другой стороны от , причем в каждом классе есть точки.
Теорема 11 (аксиома откладывания угла). От каждого отрезка по данную сторону от него, от данного его конца, можно отложить угол, равный данному углу.
Доказательство. Пусть даны угол и отрезок . Возьмем точки А, В на сторонах угла Выполним параллельный перенос точек A, B на вектор Тогда, расстояния Можно провести отрезок
с данной стороны от так, что если на на . Тогда . При этом угол будет тот же самый при любых точках А, В на сторонах угла POQ (рис.29).

Рис. 29 Откладывание угла
Теорема 12 (аксиома параллельных отрезков). Если отрезки равны и идут в одну сторону от отрезка под прямым углом, то
Доказательство. По условию теоремы а значит , и расположены под прямым углом. Рассмотрим параллельный перенос
отрезка на вектор (рис.30).

Рис. 30 Параллельные отрезки

При данном движении точка А перейдет в току С, в точка В перейдет в точку При этом движении расстояние между точками А и B и угол сохранится, а значит
Таким образом, приняв за базисную систему аксиом Г.Вейля, все утверждения и понятия системы аксиом Александрова выполняются.

3.