Puasson taqsimoti va uning parametrlari. Tarqatish va Puasson formulasi

Guruch. 5.9.2

• 
  1. Segmentda ma'lum miqdordagi nuqtalarni urish ehtimoli / faqat shu segmentning uzunligiga bog'liq, lekin uning abscissa o'qidagi holatiga bog'liq emas. Boshqacha qilib aytganda, nuqtalar bir xil o'rtacha zichlikdagi abscissa o'qi bo'yicha taqsimlanadi. Biz bu zichlikni (ya'ni uzunlik birligiga to'g'ri keladigan nuqtalar sonining matematik taxmini) bilan belgilaymiz. X.
  
• 
  2. Nuqtalar bir-biridan mustaqil ravishda abscissa o'qida taqsimlanadi, ya'ni. berilgan segmentdagi u yoki bu nuqtalarni urish ehtimoli ularning qanchasi u bilan bir-biriga mos kelmaydigan boshqa segmentga tushishiga bog'liq emas.
  
• 
  3. Ikki yoki undan ortiq nuqtadan iborat kichik kesma Axga urilish ehtimoli bir nuqtaga tegish ehtimoli bilan solishtirganda ahamiyatsiz (bu shart ikki yoki undan ortiq nuqtalarning mos kelishining amaliy imkonsizligini bildiradi).
  

Keling, abscissa o'qi bo'yicha ma'lum bir uzunlik segmentini tanlaymiz / va diskret tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqamiz. X- ushbu segmentga tushadigan nuqtalar soni. Miqdorning mumkin bo'lgan qiymatlari bo'ladi
Nuqtalar segmentga bir-biridan mustaqil ravishda tushganligi sababli, nazariy jihatdan ulardan siz xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin, ya'ni. qator (5.9.6) cheksiz davom etadi.
Tasodifiy o'zgaruvchi ekanligini isbotlaylik X Puasson taqsimotiga ega. Buning uchun biz ehtimollikni hisoblaymiz P t aynan shu haqiqatdan T ball.
Keling, avval oddiyroq muammoni hal qilaylik. Ox o'qi ustidagi kichik Ax kesmasini ko'rib chiqing va bu qismga kamida bitta nuqta tushishi ehtimolini hisoblang. Biz quyidagicha bahslashamiz. Ushbu bo'limga to'g'ri keladigan ballar sonining matematik kutilishi, shubhasiz, tengdir Huh(chunki uzunlik birligi o'rtacha tushadi X ball). 3-shartga ko'ra, kichik Ax segmenti uchun unga ikki yoki undan ortiq nuqta tushishi ehtimolini e'tiborsiz qoldirish mumkin. Shuning uchun, matematik kutish Huh Ax kesmasiga tushadigan nuqtalar soni taxminan bir nuqtaning unga tushish ehtimoliga teng bo'ladi (yoki bizning sharoitimizda ekvivalent bo'lgan kamida bitta).
Shunday qilib, cheksiz kichikgacha yuqori tartib Ax - »0 uchun Ax kesmasiga bitta (kamida bitta) nuqta tushishi ehtimolini ko'rib chiqishimiz mumkin Ha, va hech qanday urmaslik ehtimoli 1 ga teng - HA.
Biz bundan ehtimollikni hisoblash uchun foydalanamiz P t segmentga / aniq urish T ball. / segmentini ajrating P teng qismlar uzunligi. Axe elementar segmentini "bo'sh" deb atashga rozi bo'laylik,
bitta nuqtaga urmagan bo'lsa, hech bo'lmaganda bittaga tegsa "band". Yuqoridagilarga ko'ra, Ax segmentining "bag'al" bo'lish ehtimoli taxminan teng; ehtimollik
«bo'sh» bo'lib chiqishi haqiqatga teng
2-shartga ko'ra, bir-biriga mos kelmaydigan segmentlardagi nuqtalarning zarbalari mustaqil bo'lganligi sababli, bizning P segmentlar deb hisoblash mumkin P mustaqil "tajribalar" bo'lib, ularning har birida segmentni ehtimollik bilan "ishg'ol qilish" mumkin. P segmentlar aniq bo'ladi
T"Band". Tajribalarni takrorlash teoremasi bo'yicha bu ehtimollik tengdir

yoki, ifodalaydi XI = a,
Etarlicha kattaligi bilan P bu ehtimollik segmentga tegish ehtimoliga taxminan teng / aniq T ballar, chunki Ax segmentida ikki yoki undan ortiq nuqtaning urishi arzimas ehtimolga ega. Aniq qiymatni topish uchun P t, da chegaraga o'tish uchun (5.9.7) ifodada zarur P-> oo:
Chegara belgisi ostidagi ifodani o'zgartiramiz:

(5.9.9) ifodadagi birinchi kasr va oxirgi kasrning maxraji at P -> oo, shubhasiz, birlikka moyil. dan ifoda P bog'liq emas. Oxirgi kasrning numeratori quyidagicha o'zgartirilishi mumkin:

Da  va ifoda (5.9.10) ga intiladi f ~ a.
Shunday qilib, urish ehtimoli aniq ekanligi isbotlangan T segmentga nuqtalar / formula bilan ifodalanadi

qayerda a = XI, bular. kattalik X parametr bilan Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi a = XI.
Miqdorga e'tibor bering a ma'no ichida segmentdagi o'rtacha ball soni I.
Kattaligi R,(miqdori ehtimoli X ijobiy qiymat oladi) bu holda ifodalaydi ehtimollik, I segmentga kamida bitta nuqta to'g'ri keladi:
Shunday qilib, biz Puasson taqsimoti ba'zi nuqtalar (yoki boshqa elementlar) bir-biridan mustaqil ravishda tasodifiy pozitsiyani egallagan joyda sodir bo'lishiga ishonch hosil qildik va bu nuqtalarning qaysidir sohaga to'g'ri keladigan soni hisobga olinadi. Bizning holatda, bunday "maydon" abscissa o'qi bo'yicha segment / edi. Biroq, bizning xulosamiz nuqtalarni tekislikda (nuqtalarning tasodifiy tekis maydoni) va kosmosda (nuqtalarning tasodifiy fazoviy maydoni) taqsimlash holatiga osongina kengaytirilishi mumkin. Agar shartlar bajarilsa, buni isbotlash qiyin emas:

• 
  1) nuqtalar o'rtacha zichlikka ega bo'lgan maydonda statistik jihatdan teng taqsimlangan X
  
• 
  2) nuqtalar mustaqil ravishda bir-birining ustiga tushmaydigan joylarga tushadi;
  
• 
  3) nuqtalar juft, uchlik va hokazo emas, birma-bir paydo bo'ladi, keyin nuqtalar soni. X, har qanday hududga tushish D(tekis yoki fazoviy), Puasson qonuniga muvofiq taqsimlanadi:
  

qayerda a maydonga tushadigan o'rtacha nuqtalar soni D.
Yassi korpus uchun
qayerda S D- hudud maydoni D fazoviy uchun

qayerda V D- maydon hajmi D.
E'tibor bering, segment yoki mintaqaga tushadigan nuqtalar sonining Puasson taqsimoti mavjudligi uchun doimiy zichlik sharti (X = const) muhim emas. Agar qolgan ikkita shart bajarilsa, Puasson qonuni amal qiladi, faqat parametr a u boshqa ifodani oladi: u zichlikni oddiy ko'paytirish bilan emas X mintaqaning uzunligi, maydoni yoki hajmi bo'yicha, lekin segment, maydon yoki hajm bo'yicha o'zgaruvchan zichlikni integratsiyalash orqali (batafsil ma'lumot uchun 19.4-kichik bo'limga qarang).
Chiziqda, tekislikda yoki hajmda tarqalgan tasodifiy nuqtalarning mavjudligi Puasson taqsimotining yagona sharti emas. Masalan, Puasson qonuni binomial taqsimotning chegarasi ekanligini isbotlash mumkin:
agar biz bir vaqtning o'zida tajribalar sonini yo'naltirsak n to cheksizlik va ehtimollik R - nolga va ularning mahsuloti va boshqalar doimiy qiymatni saqlaydi:
Darhaqiqat, binomial taqsimotning bu cheklovchi xususiyati quyidagicha yozilishi mumkin:
Lekin shart (5.9.13) shuni nazarda tutadi
(5.9.15) ni (5.9.14) ga almashtirib, tenglikka erishamiz
Bu biz tomonidan boshqa bir voqeada isbotlangan.
Binom qonunining bu cheklovchi xususiyati ko'pincha amaliyotda qo'llaniladi. Aytaylik, u ishlab chiqarilgan katta miqdorda mustaqil tajribalar P, ularning har birida voqea A ehtimoli juda past R. Keyin ehtimollikni hisoblash uchun R t „ qanday voqea A aniq paydo bo'ladi T marta, siz taxminiy formuladan foydalanishingiz mumkin
qayerda pr = a Puasson qonunining parametri bo'lib, binomial taqsimotni taxminan almashtiradi.
Puasson qonunining bu xususiyatidan - da binom taqsimotini ifodalash katta raqam eksperimentlar va hodisaning past ehtimoli - uning nomi statistika darsliklarida ko'pincha qo'llaniladi: noyob hodisalar qonuni.
Puasson taqsimotiga oid bir nechta misollarni ko'rib chiqing turli hududlar amaliyot.