Пусть -матрица

3.5. Сингулярное разложение

данном разделе только некоторые аспекты, детальное изложение и ис­следование которых содержится в [4].
Пусть -матрица А имеет ранг . Тогда в сингулярном разложении матрица имеет вид . При для совместности си­стемы (3.5.7) необходимо, чтобы . При переменные в уравнение (3.5.7) не входят и, значит, в случае совместности системы компоненты решения могут быть выбраны произвольно.
Выберем так, чтобы норма вектора невязки

была минимальной.
Упражнение 3.5.7. Докажите, что

и равенство достигается лишь в том случае, если
. (3.5.10)
При существует единственный вектор (с компонента­ми (3.5.10)), на котором достигает минимума. При минимум будет достигаться на любом векторе , у которого первые компонент определены формулами (3.5.10), а осталь­ные произвольны (если остальные компоненты равны нулю, то получим вектор с минимальной нормой, на котором минимальна). Сле­довательно, при любом можно найти единственный элемент , который имеет наименьшую норму среди всех векторов, до­ставляющих минимум функционалу . Но поскольку , с учетом равенств


нетрудно убедиться, что среди векторов, доставляющих минимальное значение норме невязки , существует один и только один век­тор с наименьшей нормой — нормальное псевдорешение системы .
Отметим, что при система , во­обще говоря, неразрешима, т. е. вектор невязки может быть отличен от нуля при всех . Следовательно, равенство надо понимать в более широком смысле. Обобщение понятия решения приво­дит сначала к минимизации функционала , в результате чего получаем множество всех псевдорешений системы , а затем к еще одной минимизации (нахождение в вектора , имеющего ми­нимальную норму). Однако вариационное определение не всегда удобно для конкретных вычислений, поэтому мы рассмотрим один из спосо­бов расширения системы до такой системы, решая которую можно найти и псевдорешение , и соответствующий вектор невязки [4].