Пусть -матрица

Теорема 3.5.3. Решение расширенной системы


(3.5.11)


состоит из псевдорешения системы и — соответствующего вектора невязки, причем определяется из (3.5.11) однозначно.
Итак, для нахождения нормального псевдорешения системы можно сначала решить расширенную систему (3.5.11) и найти у_н. Но то­гда система будет совместной, поэтому для нахождения нор­мального псевдорешения достаточно найти минимальное по норме решение системы . При этом ясно, что , т. е. число характеризует степень несовместности системы . Следуя [4], число
(3.5.12)
назовем несовместностью системы .
Отметим в заключение, что сингулярные числа и сингулярные век­торы матрицы А позволяют изучить различные аспекты некорректно­сти задач линейной алгебры, включая учет влияния несовместности си­стемы, определение и анализ углов между подпространствами, опреде­ление и теорию возмущений г-решений и многое другое. В главе 2 мы упомянули лишь простейший случай с тем, чтобы связать понятие - решения с регуляризацией.
Укажем на одну существенную трудность, которая может возник­нуть при реализации метода сингулярного разложения, когда в резуль­тате вычислений получены относительно малые сингулярные числа. В этом случае при определении по формуле может полу­читься большая погрешность. Поэтому ключом к правильному исполь­зованию сингулярного разложения является введение границы , отра­жающей точность исходных данных и машинных вычислений. А имен­но, всякое приемлемо и соответственно а любое следует считать нулевым и соответствующему может быть придано произвольное значение (или можно положить , чтобы получить решение с минимальной нормой). Величина играет здесь роль пара­метра регуляризации.

6. 
   Алгоритм сингулярного разложения и метод С. К. Годунова
   

Процесс решения произвольной системы уравнений с прямоуголь- ной матрицей основан на приведении системы к каноническому виду. При сингулярном разложении в качестве канонического задается вид системы, имеющей диагональную матрицу коэффициентов (подробное описание алгоритма можно найти в [4]).
Приведение к диагональному виду осуществляется серией ортого­нальных преобразований пространства, в котором лежит правая часть системы, и другой серией ортогональных преобразований, действующих в пространстве, где разыскивается решение. Элементарные преобразо­вания, входящие в эти серии, выбираются в виде ортогональных отра­жений относительно тех или иных, специально подобранных плоскостей или в виде цепочек двумерных вращений.
Сингулярное разложение произвольной прямоугольной матрицы А проводится в несколько этапов:

1. 
   с помощью ортогональных преобразований отражения матрица А приводится к двухдиагональному виду (прямоугольная матри­ца называется двухдиагонамной, если при усло­вии, что и ;
   
2. 
   для двухдиагональной матрицы вычисляются ее сингулярные числа
   

3. 
   двухдиагональная матрица приводится к диагональному ви­ду с помощью процедуры исчерпывания, использующей в каче­стве ортогональных преобразований цепочки двумерных враще­ний.