Пусть -матрица

Приложение к задаче наименьших квадратов
На основе сингулярного разложения можно получить псевдорешение (или решение в смысле наименьших квадратов)
.

Поскольку ортогональные матрицы сохраняют норму,
получаем

.
Вектор , доставляющий минимум невязке, выражается формулой:
если ,
— произвольно, если
Причем Множество всех псевдорешений вычисля-
ется по формуле . Если положить в случае , то получим нормальное (т. е. минимальное по норме) псевдорешение.
Отметим, что численному исследованию метода наименьших квад­ратов посвящена монография [3.13].
При возникновении малых сингулярных чисел во избежание накоп­ления погрешности необходимо предусмотреть операцию “зануления” малых сингулярных чисел, которую можно интерпретировать как спе­циальную процедуру регуляризации.
Метод С. К. Годунова [4]. Опишем подробнее метод, предложен­ный С. К. Годуновым, поскольку он представляется одним из наиболее перспективных в случае, когда слишком большое число обусловленно­сти и несовместность системы, казалось бы, уже не оставляют шансов на приемлемое решение.
Отметим, что использование метода наименьших квадратов или метода регуляризации А. Н. Тихонова (напомним здесь лишь простейший вариант) приводит соответственно к системам и .Необхо­димо отметить, что помимо хорошо известных преимуществ указанных методов, имеются серьезные недостатки, в известном смысле усложня­ющие исходную некорректную задачу . Во-первых, и без того плохая обусловленность матрицы А возводится в квадрат при переходе к . Во-вторых, характерные особенности изменения данных силь­но сглаживаются в результате применения оператора (напомним, что матрица А, как правило, получается в результате дискретизации компактного оператора). В-третьих, добавление малого параметра хо­тя и улучшает свойства оператора, который подлежит обращению, но при этом изменяет исходную задачу и порождает новую проблему вы­бора подходящего .
Избавиться от первых двух недостатков позволяет метод М. М. Лав­рентьева , который обоснован в случае, если А — симметрич­ная положительно полуопределенная матрица (см. леммы 3.2.1 и 3.2.2).

С. К. Годунов предложил метод регуляризации системы с пря­моугольной -матрицей А, основанный на решении расширенной системы
(3.6.1)


(3.6.2)

Здесь — параметр регуляризации, а система (3.6.2) описывает усло­вия принадлежности искомого решения некоторому заданному мно­жеству корректности. Алгоритм вычисления нормального обобщенного -решения системы (3.6.1)-(3.6.2) детально описан в [4]. Важно отме­тить, что алгоритм не использует перехода к нормальной системе урав­нений . Предлагаем читателям рассмотреть алгоритм на следующем примере.
Пусть дано интегральное уравнение Фредгольма