Qarshi davlat universiteti matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasi

Misol. funksiyaning analitik yoki analitik emasligi tekshirilsin.
Yechilishi.


- shu nuqtadagina hosila mavjud, boshqa nuqtada hosila yo‘q, ya’ni funksiya analitik emas.
Biror E sohada analitik funksiya berilgan bo‘lsin. Bu funksiya E dan olingan biror aniq nuqtada hosilaga ega bo‘lsin. Bu funksiya yordami bilan (z) dagi nuqtani G dagi nuqtaga akslantirsak, dan o‘tuvchi ixtiyoriy chiziqlar dan o‘tuvchi va chiziqlarga akslanadi. Biz hosilaning argumenti va modulining geometrik ma’nosini ko‘raylik. Buning uchun kompleks sonni trigonometric formaga keltiraylik.

a) shakldan va o‘tilgan hosila ta’rifidan foydalansak:
(1)
ya’ni ning aksi bo‘lib, u Ф burchakka burilar ekan. Xuddi shuningdek ning aksi hosil bo‘lib, u ham Ф burchakka burilishini ko‘rsatish mumkin, ya’ni
(2)

1. 
   va (2) larni tenglab ushbuni yoki bundan
   

(3)
ekanligi kelib chiqadi.

Shunday qilib, analitik funksiya yordami bilan E sohani G sohaga akslantirsak, nuqtadan o‘tuvchi … chiziqlarning hammasi G da bir xil burchakka burilar ekan. ch iziqlar orasida burchaklar o‘zgarmay akslanadi, ya’ni bo‘ladi.
1-xossa. Analitik funksiya yordami bilan bajariladigan akslantirish hosila nolga teng bo‘lmagan barcha nuqtalarda burchaklarni saqlash xossasiga ega.

(4)
bu nuqtadan o‘tuvchi har qanday C chiziqning cho‘zilish koeffitsiyenti deyiladi. Boshqacha aytganda analitik funksiya yordamida bajariladigan akslantirish protsessida istalgan kichik yoy nuqtaning kichik atrofida marta o‘zgaradi. dan o‘tuvchi istalgan barcha chiziqlar uchun cho‘zilish koeffitsiyenti bir xil bo‘ladi, chunki ning ga intilishi ixtiyoriydir.
2-xossa. Analitik funksiya yordami bilan bajariladigan akslantirish hosila nolga teng bo‘lmagan barcha nuqtalar o‘zgarmas cho‘zilishga ega.
1-ta’rif. Agar analitik funksiya yordamidagi akslantirish natijasida nuqtadagi cho‘zilish koeffitsiyenti va burchakning kattaligi ham o‘zgarmasa u I-tur konform akslantirish deyiladi.
Misol uchun, bir uchi nuqtadan iborat istalgancha kichik uchburchakni analitik funksiya yordamida akslantirsak, bir uchi nuqtadan iborat egri chiziqli uchburchakka ega bo‘lamiz. Lekin ikkala uchburchakdagi mos burchaklar o‘zaro teng bo‘ladi (4-rasm).

Endi x0y va u0 koordinata tekisliklarini birga joylashtiraylik, funksiya vositasi bilan nuqtani akslantirsak, o‘sha tekislikdagi 0x o‘qqa simmetrik bo‘lgan nuqta paydo bo‘ladi. Masalan, nuqtadan chiqqan ikki to‘g‘ri chiziq va ular orasidagi burchakni akslantirsak,
0x ga nisbatan simmetrik bo‘lgan ikki to‘g‘ri chiziqqa almashadi. burchakning aksi ya’ni qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan bo‘lib tushadi (5-rasm).
2-ta’rif. Agar analitik funksiya yordamidagi akslantirish natijasida nuqtadagi cho‘zilish o‘zgarmasa va burchakning ham kattaligi o‘zgarmay, faqat yo‘nalishi qarama-qarshisiga o‘zgarsa, u II-tur konform akslantirish deyiladi.
Shunday qilib, analitik funksiyaga qo‘shma bo‘lgan funksiya yordamida amalgam oshiriladigan akslantirish II tur konform akslantirish bo‘lar ekan. Biz ko‘pincha I tur konform akslantirish bilan ish ko‘ramiz.