Qarshi davlat universiteti matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasi

1-misol. funksiya yordamida bajariladigan akslantirishda ushbu nuqtalardagi Ф burilish burchagi va R cho‘zilish koeffitsiyenti topilsin.
a) b)
Yechilishi.
a) ,ya’ni cho‘zilishi ro‘y bermaydi.
, ya’ni burilmaydi.
b) demak, ga cho‘ziladi.
, demak chiziq ga buriladi.
Kompleks (z) tekisligidagi biror E sohada uzluksiz bir qiymatli

funksiya berilgan bo‘lsin, u holda funksiya E soha ichidan olingan ixtiyoriy Г silliq chiziqda ham bir qiymatli va uzluksiz bo‘ladi.
Bu chiziqning tenglamasi bo‘lib, uning boshlang‘ich nuqtasi va oxirgi nuqtasi ya’ni bo‘lsin. Г chiziqning yo‘nalishini ikki xil aniqlash mumkin. Odatda t – parametrning oshib borishga mos yo‘nalishini musbat yo‘nalish, bunga teskari yo‘nalishini manfiy yo‘nalish deb qabul qilinadi.

Г – сhiziqni nuqtalar orqali n ta yoychalarga ajrataylik va har bir yoychada bittadan ixtiyoriy nuqta olaylik va bu nuqtalardagi funksiyaning qiymatlarini topaylik. Quyidagicha ko‘paytmalarning yig‘indisini tuzaylik:
(5)
Bunda va (5)ga integral yig‘indi deyiladi. deb belgilaylik.
Ta’rif. Agar - nolga intilganda (5) integral yig‘indi aniq limitga ega bo‘lsa va bu limitning qiymati Г ni qaysi usulda larga bo‘lish usuliga va bu bo‘lakchalarga nuqtalarni tanlash usuliga bog‘liq bo‘lmasa, bu limitning qiymati funksiyadan Г chiziq bo‘yicha olingan kontur integral deyiladi va quyidagicha yoziladi:
(6)

Г chiziq integrallash yo‘li yoki konturi deyiladi. Agar ni e’tiborga olsak, bundagi va funksiyalar ham Г da uzluksiz bo‘ladi va quyidagini yozish mumkin:
(7)
Bundan ko‘rinadiki, kompleks o‘zgaruvchilar funksiyasining integrali 2 ta haqiqiy o‘zgaruvchilar funksiyasining egri chiziqli integrali ko‘rinishiga keladi.
1-xossa. O‘zgarmas ko‘paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin:

Isboti. Haqiqatan ham agar a – o‘zgarmas son bo‘lsa, ushbu tenglik o‘rinli:

bundan da hadlab limitga o‘tsak, 1-xossa isbot bo‘ladi.
2-xossa. Chekli sondagi funksiyalar yig‘indisidan olingan integral har bir qo‘shiluvchi funksiyalardan olingan integrallar yig‘indisiga teng, ya’ni:

Isboti 1-xossadagidek isbotlanadi.
3-xossa. Integrallar konturining yo‘nalishi qarama-qarshisiga o‘zgartirilsa, integral belgisi oldidagi ishora ham o‘zgaradi, ya’ni:

Isboti. Haqiqatan ham, integral yig‘indi Г ning musbat yo‘nalishida olinsa ga teng, agar (manfiy) qarama-qarshi yo‘nalishda olinsa ga teng bo‘ladi. Shuning uchun va yig‘indilar faqat ishoralari bilan farq qiladi, demak limitlari ham faqat ishorasi bilan farq qiladi.
4-xossa. Agar Г chiziqning uzunligi lbo‘lib, uning barcha nuqtalarida son uchun o‘rinli bo‘lsa, ushbu tengsizlik ham o‘rinlidir:
(Isbotsiz).

5-xossa. Agar bo‘lsa, ushbu tenglik o‘rinlidir:

(isbotsiz).
kompleks funksiyadanГ chiziq bo‘ylab olingan integral (7) formulaga ko‘ra haqiqiy o‘zgaruvchidan olingan egri chiziqli integralni hisoblash uchun Г chiziqning tenglamasi parametrik holda berilgan bo‘lishi kerak.
Г chiziqning parametriktenglamalari bo‘lsin. Bu parametrik tenglamalarni kompleks shaklda yozsak, ya’ni:
ekanligi kelib chiqadi va funksiya ham segmentda uzluksiz bo‘ladi. Bularni e’tiborga olsak, (5) ni quyidagicha yozish mumkin:

yoki
(8)
yok (9)
Shunday qilib, kompleks o‘zgaruvchining funksiyasida Г kontur bo‘yicha olingan integralni hisoblash masalasi aniq integralni hisoblashga keltirildi.
Magistratura talabasi: Asrorova Ch.B
Ilmiy rahbar: Aliqulov E

Matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasining

2022-yil________________dagi yig’ilishda ko’rib chiqildi.
Qarshi Davlat Universiteti Matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasining 70540101-Matematik analiz (yo’nalishlar bo’yicha:matematik analiz) magistratura mutaxassisligi 1-bosqich talabasi Asrorova Charos Baxtiyor qizining ilmiy tadqiqot va ilmiy pedagogik ishlari bo’yicha 2022-yil aprel oyi
HISOBOTI
2021-2022 o’quv yilining mart oyi davomida 70540101-Matematika (yo’nalishlar bo’yicha:matematik analiz) o’quv rejasida belgilangan fanlardan ma’ruza va amaliy mashg’ulotlarda qatnashdim va ijobiy o’zlashtirdim. Jumladan, “Analitik funksiyalar haqida umumiy tushuncha”, “Analitik funksiyalarning tadbiqlari”, “ Statistik baholarning asimptotik xossalari” , “Shvars lemmasi” fanlarini ma’ruza, seminar va amaliy mashg’ulotlariga muntazam qatnashib, darslarni o’zlashtirdim.
Aprel oyi mobaynida ilmiy raxbarim Aliqulov E bilan kalendar va shaxsiy ish rejamda belgilangan jadval bo’yicha uchrashib maslaxatlar oldim. Ish rejasida o’tilishi rejalashtirilgan amaliy mashg’ulotlarni kuzatdim va pedagogik tajribamni boyitdim.
Ilmiy rahbarim Aliqulov E ko’magida dissertatsiya mavzuim yuzasidan topshiriqlarni bajarib,mavzuni mukammalroq o’ganishga harakat qildim.Shu mavzuga aloqador bo’lgan ko’plab ilmiy maqolalar va tezislar,ilmiy ishlar bilan tanishib,o’rganib chiqdim.
Ko‘pgina hollarda integralning qiymati ikki narsaga, ya’ni berilgan funksiyaga va Г – chiziqning formasiga bog‘liq. Agar nuqtalarni tutashtiruvchi ikki xil va chiziqlarni olsak, integralning qiymati ham umuman ikki turli bo‘lishi, ba’zan esa teng bo‘lib qolishi mumkin.

Masalan, ushbu tenglik o‘rinli bo‘lsin:
(10)
ya’ni integralning qiymati integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasin, u holda (8) dan quyidagini yozish mumkin:

yoki


Demak, integralning qiymati integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligi uchun (uning nuqtalarning o‘rniga bog‘liq bo‘lishi uchun) shu nuqtalarni tutashtiruvchi yopiq kontur bo‘yicha olingan integralning qiymati nolga teng bo‘lishi kerak.
Qaysi shartlar bajarilganda integralning qiymati nolga teng yoki integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligiga quyidagi Koshi teoremasi javob beradi.
Bir bog‘lamli soha uchun Koshi teoremasi.
Teorema. Agar bir bog‘lamli E sohada funksiya analitik bo‘lsa, Г da yotuvchi har qanday Г yopiq kontur bo‘ylab funksiyadan olingan integral nolga teng bo‘ladi:
(11)
Isboti. funksiyaning hosilasi ham E da uzluksiz bo‘lsin.
bo‘lgani uchun lar ham D da uzluksiz bo‘ladi, demak, larning ham uzluksizligi kelib chiqadi. U holda Grin formulasiga ko‘ra quyidagini yozish mumkin:

Koshi-Riman shartlariga asosan:
bo‘lgani uchun oxirgi tenglik nolga teng bo‘ladi, ya’ni . Bu teorema birinchi marta mashhur fransuz matematigi Eduard Gursa (1858-1936) tomonidan isbotlangan.
Ko‘p bog‘lamli soha uchun Koshi teoremalari.
1-teorema. Agar ko‘p bog‘lamli yopiq sohada funksiya analitik bo‘lsa, shu sohaning butun konturi bo‘ylab musbat yo‘nalishda funksiyadan olingan integral nolga teng bo‘ladi. Bu teorema quyidagicha ham (4-rasmga ko‘ra) yoziladi:
yoki
(11)

Teoremani isbotsiz qabul qilamiz.
2-teorema. Agar ko‘p bog‘lamli yopiq sohada funksiya analitik bo‘lsa, bu funksiyadan tashqi kontur bo‘yicha olingan integral ichki konturlar bo‘yicha olingan integrallar yig‘indisiga teng.
Bu teoremani isboti 1-teoremadan kelib chiqadi. Masalan, shaklga asosan quyidagi tenglikni yozish mumkin:
(12)
Ta’rif.Agar E sohaning barcha nuqtalarida tenglik bajarilsa, u holda funksiya berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
Haqiqiy o‘zgaruvchilar sohasidagi kabi kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi uchun ham quyidagi teorema o‘rinli.
Teorema. Agar E sohada funksiya funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda (bunda C – ixtiyoriy o‘zgarmas) ham E da o‘sha funksiya uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi va aksincha, agar va lar ning boshlang‘ich funksiyalari bo‘lsa, u holda barcha lar uchun
(13)
bo‘ladi.
Berilgan funksiyaning hamma boshlang‘ich funksiyalari aniqmas integral deyilib, ushbu

simvol bilan belgilanadi. Demak (1) ga muvofiq
(14)
bunda

Endi funksiya bir bog‘lamli E sohada analitik bo‘lsin. E da vaz nuqtalarni birlashtiruvchi Г kontur bo‘ylab integrallash talab qilinsa, unga to‘g‘ridan – to‘g‘ri haqiqiy sonlar nazariyasidagidek Nyuton – Leybnits formulasini qo‘llash mumkin:
(15)