Qavariq funksiya va qavariq uzluksizlik moduli hamda ularga tegishli xossalar

11.3. Qavariq uzluksizlik modulining xossasi.
_{ } Agar _{ } qavariq, kamaymovchi, nolda uzluksiz va _{ } funksiya bo’lsa, u holda u uzluksizlik modulidir.
Isbot. _{ } ga binoan _{ } funksiyaning o’smovchiligini ko’rsatish kifoya. Buning uchun ixtiyoriy _{ } sonlarni olib, _{ } ning qavariqligini nazarda tutsak, _{ } ya’ni _{ } , ya’ni xossa isbotlandi. □
11.4. Qavariq uzluksizlik modulining xossasi.
_{ } Agar _{ } ixtiyoriy uzluksizlik moduli bo’lsa, u holda shunaqa qavariq uzluksizlik moduli _{ } mavjudki, barcha _{ } lar uchun _{ } bajariladi.
Bunday qavariq uzluksizlik moduli _{ } ning mavjudligi va uning yuqoridagi tengsizlikni qanoatlantirishi quyidagi chizmadan ko’rinib turibdi.

4-chizma
Bu xossaning qat’iy isboti quyidagi lemmaga asoslanadi.

Lemma 11.1. Faraz qilaylik _{ } biror _{ } to’plamda o’zgargan taqdirda hosil bo’ladigan funksiyalar oilasi berilgan bo’lsin. Agar har bir _{ } uchun _{ } funksiya kamaymovchi va qavariq bo’lsa, u holda _{ } funksiya ham kamaymovchi va qavariq bo’ladi.
Isbot. funksiyaning kamaymovchiligi ravshan. Ixtiyoriy _{ } va _{ } uchun

Shuning uchun _{ } ,

ya’ni qavariq funksiya. □
_{ }xossaning isboti. emas deb hisoblaymiz. Shuning uchun _{ } bo’lganda, _{ } deb hisoblab,
.
Bu yerda minimum barcha bo’yicha olinib, _{ } minimum erishiladigan nuqtadir. 
bo’lganligi uchun bunday nuqta mavjuddir. Quyidagi tengsizlik bajariladi:

Endi agar _{ } bo’lsa, u holda barcha _{ } lar uchun _{ } tengsizlik qanoatlantirilishini ko’rsatamiz. Haqiqattan ham, _{ } uchun bu tengsizlik o’rinli, _{ } uchun bu tengsizlik _{ } dan kelib chiqadi. Agar _{ } bo’lsa u holda _{ } va


Endi _{ } intervalda funksiyani aniqlaymiz. Lemmaga ko’ra _{ } da kamaymovchi va qavariqdir. Barcha _{ } lar uchun _{ } bo’lganligidan _{   }. Lekin _{ } dan kelib chiqadi. Shunday qilib, _{   } Bu funksiyani 0 nuqtada _{ } day aniqlab, natijada uni so’nggi tengsizlikka muvofiq 0 nuqtada uzluksiz va _{ }da qavariq ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Bu yerdan _{ } xossaga asosan _{ } –qavariq uzluksizlik moduli va _{ }xossa isbot bo’ldi. □