Qism fazolar haqidagi teoremalar. Reja: Kirish Asosiy qism

3. VEKTORLAR SISTEMASINING ChIZIQLI BOG‘LANIShI
Quyidagi ikkita vektorni olaylik:

Agar bu vektorlarning birinchisini — 2 ga ko‘paytirib, ikkinchi vektorga qo‘shsak, - vektor hosilbo‘ladi.
I-ta’rif. sonlar maydoni ustida qurilgan V vek­tor fazoning chekli sondagi
(1)
vektorlari uchun kamida biggasi noldan farqli shunday sonlar topilsaki, ular uchun ushbu
(2)
tenglik bajarilsa, u holda (1) sistema chiziqli bog‘langan sistema deyiladi. Agar (2) tenglik fakat, = " bo‘lgandagina bajarilsa, u holda (1) sistema chi-ziqli erkli (bog‘lanmagan) sistema deyiladi.
2- t a ‘ r i f. Agar istalgan sonlar uchun
(3)
tenglik bajarilsa, u holda vektor YEyektorlar orqali chiziqli [ifodalanadi vektor vektorlarning chiziqli komeinatsiyasidan iborat) deyiladi.
vektor va vektorlarning chiziqli komeinatsiyasidan iborat. Haqiqatan, tenglik o‘rinli, chunki
V fazodagi chekli vektorlar sistemasining chiziqli bsg‘-lanishi quyidagi xossalarga ega:
1-xossa. (1) zektorlar sistemasining: a) kamida bitta vektori nol vektordan iborat bo‘lsa; b) qandaydir ikkita vektori propornional bo‘lsa, bu sistema chiziqli bog‘langan bo‘ladi.
Isboti. Haqiqatan, agar desak, (1) sistemaning vektorini ga, kolgan vektorlarini esa nollarga ko‘paytirsak, bo‘ladi.
Endi
(4)
bo‘lib, bu yerda bo‘lsin.
Bunday holda (1) sistemaning vektorini 1 ga, vek­torini esa ga, krlgan vektorlarni esa 0 ga ko‘paytirib, natijalarni qo‘shsak, (4) ga asosan ga eri-
shamiz.
2- xossa. Agar (I) sistema chiziqli bog‘langan bo‘lsa, is-talgan sistema uchun sistema ham chiziqli bog‘langan bo‘ladi.
(5)
Isboti. (1) sistema chiziqli bog‘langan bo‘lganligi tu-fayli uchun tenglik bajariladi. U holda tenglik o‘rinli bo‘lga-nidan (5) sistema ham chiziqli bog‘langandir.
3-xossa. Berilgan V fazoda (1) sistema chiziqli bog‘-lanmagan bo‘lsa, uning har qanday qism sistemasi (sistema bo‘lagi) ham chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi. Isboti. Faraz qilaylik,
(6)
sistema (1) ning qismi bo‘lib, u chiziqli erkli bo‘lmasin, ya’ni (5) sistema (1) chizikli bog‘langan sistemani ifodala-sin. Unda 2- xossaga asosan ya’ni (1) sistema ham chiziqli bog‘langan bo‘ladi. Bu esa be­rilgan xossa shartiga zid. Demak, farazimiz noto‘g‘ri.
4-x ose a. (1) vektorlar sistemasining istalgan vektori shu sistema orqali chiziqli ifedalanadi.