Qism fazolar haqidagi teoremalar. Reja: Kirish Asosiy qism

Isboti. Istalgan vektor uchun quyidagi
tenglik o‘rinli:

Bu tenglik (1) sistemaning ixtiyoriy vektorini shu sistema orqali chiziqli ifodalanishini ko‘rsatadi.
5-xossa. (1) vektorlar sistemasi chiziqli bog‘langan bo‘-lishi uchun ulardan kamida bittasi qolganlari orqali chi-ziqli ifodalanishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. (1) sistema chiziqli bog‘langan bo‘lsin. Vektorlar sistemasining chiziqli beg‘liqligi ta’ri-figa binoan
(7)
tenglikda koeffitsiyentlardan kamida bittasi noldan farq-lidir. Faraz qilaylik, bo‘lsin. (7) dan tenglik yoki
(8)
tenglik hosil bo‘ladi, bu yerda larskalyar miqdorlar. Demak, vektor kolgan vektorlar orqali chiziqli ifodalaydi.
YEtarliligi. Faraz kilaylik, (8) shart bajarilsin. U hrlda (8) tenglikni
(9)
ko‘rinishda yoza olamiz. Bu yerda bo‘lib, (9) tenglik (1) sistemaning chiziqli bog‘langan siste­ma ekanligini ko‘rsatadi.
Biz yuqorida eslatganimizga binoan V fazo cheksiz bo‘lsin. Shuning uchun vektorlari soni chekli bo‘lmagan sistemaning chiziqli bog‘langanligi tushunchasini kiritish maqsadga muvofiqdir.
3- t a ‘ r i f. sonlar maydoni ustida qurilgan chiziqli fazoning biror chekli bo‘lmagan K vektorlar sistemasi o‘zida kamida birorta chekli sondagi chiziq-li bog‘langan vektorlar sistemasini saqlasa, K vektorlar sistemasi ham o‘zaro chiziqli bog‘langan deyi-ladi. Agar K sistemaning barcha chekli sondagi vektor-
lar sistemasi chiziqli bog‘lanmagan bo‘lsa, sistema ham chizikli bog‘lanmagan sistema deyiladi.

4. VEKTOR FAZONING BAZISI VA O‘LChOVI
1-ta’rif. Vektorlarning sistemasi bazisi deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi qism sistemasiga aytiladi:
1. -chiziqli bog‘lanmagan vektorlar sistemasi;
2. sistemaning har bir vektori sistema vektorla-rining chiziqli kombinatsiyasi bo‘ladi.
2-ta ‘rif. Agar V vektorlar fazosining o‘zaro chiziqli bog‘lanmagan shunday
. - (1)
vektorlar sistemasi mavjud bo‘lsaki, V ning qolgan barcha vektorlari (1) sistema orqali chiziqli ifoda-lansa, u holda (1) vektorlar sistemasi V vektor fa* zoning bazisi deyiladi. Faraz kilaylik,
(2)
vektorlar sistemasi" V vektor fazoning bazisi bo‘lsin. Unda ixtiyoriy iyektorni (2) bazis orqali chiziqli ifodalash mumkin, ya’ni shunday sonlar topiladiki, natijada tenglik bajariladi.
(3)
3-ta’rif. V fazoning (2) bazis vektorlari uchun (3) tenglik o‘rinli bo‘lsa, kortejga vektorning (2) bazisga nisbatan koordinatalar satri deyiladi.
Biz keyinroq koordinatalar satrini har qanday vektor uchun (berilgan bazisga nisbatan) yagonaligini ko‘rsatamiz.
Agar 2-ta’rifni qanoatlantiruvchi (1) sistema chek-li bo‘lmasa, u holda bunday vektor fazoga cheksiz o‘l-chovli vektor fazo deb ataladi.
(I) sistema V ning bazisi bo‘lsa, V fazo o‘lchovli fa­zo deyiladi. V fazoning o‘lchovi dimV orqali belgilanadi.
4-ta’rif. Chyekli vektorlar sistemasining rangi deb undagi chiziqli bog‘lanmagan vektorlarning maksimal soniga aytiladi.